au second degré. 123 



Posant x=h-\-k et z=h — k, il devient évident que le minimum 

 de 711 répond à k^O ou à z^x, et par suite à x^j=z=\(i. Ce 

 minimum est donc ?)i^|a'. 

 \lî. Considérons chacune des équations symétriques : 

 m= a(x-{-y-\-z)~x^ — ?/' — je% 

 m = a{xy-{-xz-\-yz)—xyz , 



Dans la première, le maximum de m est |a'; dans la seconde, 

 il est ia^ et dans la troisième, il est aussi 4.a^ Mais le minimum 

 de m est l/(3a^) dans le système : 



m = x-{-y-\-z et xy-{-xz-^yz = a''. 



Quelle serait la plus grande valeur de a , si m était donné seul 

 dans ce système ? 



Calculer le maximum de a, le nombre m étant seul donné, ou 

 bien le minimum detn, le nombre a étant seul connu, dans le 

 système : 



x''-\-y^-\-z^==m et xyz:=a, 

 ou dans x'-f-!/'-j--'="* et xyz^a. 

 VIII. Considérons maintenant le système non symétrique par 

 rapport aux trois variables inconnues, savoir : 



^'+2/''+^^ = û6 et (>m = xy-\-xz — yz. 

 L'élimination de z donnerait une équation finale du troisième 

 degré en a; et ?/; laquelle ne peut se traiter que par la méthode des 

 dérivées , à l'aide des calculs compliqués. Mais , soustrayant le 

 double de la seconde équation hors de la première , on trouve 

 (x — yf — '2z{x — 2/) = 56 — ^z — 12»! ; d'où 

 X — y=z±y'\ùÇi-{-z'' — 4s — 12wi). 



Il semble que ce soit le maximum de m qui rende nulle la quan- 

 tité sous le radical et donne 



36-1-3=— 4s— 12m=0; d'où x—y=z. 

 Mais c'est réellement le minimum de m qui donne la première 

 de ces deux équations ; car résolvant celle-ci par rapport à z , il 

 vient 



s = 2±^/(12w-32). 

 Il est évident que c'est le minimum de m qui rend nulle la 

 quantité 12»h— 32; ce minimum est donc »;j=f : il en résulte 



s=2,x-2/=2 et a:'-}-2/'— 28. 



