au second degré. 127 



uiaxiinum de m est | — i ou \. Ainsi le minimum 1 de w» surpasse 

 son maximum j : les valeurs correspondantes de x sont 3 et 6. 



La méthode des dérivées fournit les mêmes résultats ; mais les 

 calculs sont beaucoup plus compliqués. En effet , l'équation pro- 

 posée donne 



Calculant les dérivées dm et d^m, on trouve 



0J»= — ^ 



\dHn = 



{ix-x'Y 

 lM-}-23a;'— 108x 



[ix—x'y 



Pour le maximum et pour le minimum de >w, on a dtn^O ou 

 2a;' — 18a;+36==0; d'où a;=:3 et a; = 6. 



D'ailleurs x = 5 donne 5d'«i=-j-l ; c'est donc le minimum de 

 m qui répond h a;=3 j et ce minimum est î?i=l. — Pour x=6 , 

 on a id'»)î= — i; c'est par conséquent le maximum de m qui ré- 

 pond à x^6 ; et ce maximum se réduit à »«=j, comme plus haut. 

 X. Soit encore le système non symétrique : 



x-f-?/=13 et w^=^J'a:'^/2/^ 

 La seconde de ces équations devient 



m^=x''y^=i''.9mxY{lyY ; d'où 

 }wG_44.99.p et p={jxY{^ijY. 



Cela posé, on sait, par la méthode symétrique que pour diviser 

 vn nombre donné en parties dont le produit soit le plus grand pos- 

 sible , il faut prendre ces parties égales entre elles; ainsi, pour le 

 maximum de p et par conséquent pour celui de m , il faut que les 

 15 fac(eurs de p soient égaux entre eux et à z. Or, 4 de ces fac- 

 teurs z ont X pour somme, d'où ^z^x, et 9 facteurs z ont y pour 

 somme, d'où 9z=î/. On a donc iz-f-Qz ou 13z=15, z=l, a;=4 

 et 2/=9. De sorte que le maximum de p étant \, celui de m est la 

 racine sixième de 44x93. 



C'est ce qu'on vérifierait par la méthode des dérivées , après avoir 

 éliminé y; mais celte vérification , déjà compliquée , serait bien 

 difficile dans le système : 



f JC-|-2/-l-z-fi- = 53 et »H = j/a-|>'»/'j/r'|> t;% 



