du calcul des variations. 131 



5° La fonction déformée, sera toujours représentée par 

 u + Du. 



3. Le calcul des variations a pour objet général les règles relatives 

 à la déformation des fonctions. Ces règles varient selon les divers 

 modes de déformation; il convient donc de définir d'abord ceux- 

 ci, et de fixer les notations qui s'y rapportent. 



Nous nommerons éléments constants les variables indépendan- 

 tes , éléments variables les variables dépendantes. Nous considére- 

 rons deux sortes de fonctions, savoir : 1» des fonctions qui ne ren- 

 ferment que des variables indépendantes; 2° des fonctions compo- 

 sées à la fois de variables indépendantes et dépendantes. 



Les déformations de la 1'° espèce de fonctions s'obtiennent im- 

 médiatement, en donnant aux variables indépendantes l'accroisse- 

 ment arbitraire >}. Soient , par exemple : 



1° y =fx, on aura : 



y + iyy=f(.x + >,) = fx+ Dfx; 



2" ^^=f(x,y), on aura : 



2 + Ds = /-x -f ï, 2/ -^ ;?) = /• («, 2/) + D /-(a;, 2/) ; 

 etc. 



Les fonctions de la 2"^" espèce admettent deux sortes de déforma- 

 tions , savoir : une déformation simple, et une déformation com- 

 posée. 



Elle est simple lorsqu'elle s'opère médiatement par la déforma- 

 tion des variables dépendantes. Soit, par exemple : 



z = f(x,y), 



une fonction dans laquelle y est la variable dépendante , et par con- 

 séquent une fonction de x , telle que 



y=<px; 



quand x devient x -{-if , y deviendra y + By. Cela posé, comme x 

 est l'élément constant , s se changera en 



z-f Dz=/-(x, y+ï)y) = f{x,y) + Df{x,y). 



Cette déformation de z est simple, mais non fwîwérfïate , puis- 

 qu'elle s'opère par le moyen de la variation de y. 



La déformation est composée lorsqu'elle est le produit d'une dou- 

 ble variation , d'abord de celle qu'on obtiendrait immédiatement 

 en considérant, toutes ses variables comme éléments constants, 



