du calcul des variations. 163 



w + D'w ^ f(x, y^J)y, z^ D'z)-{- T)f{x, y + D;/, z + D'r) . 

 Mais comme on a , par les g précédents , 



f+Bf^ f+ s f-]- etc.. 



on aura 



Mais on a 



u+B'u^fix, y+Dy, z+Wz)+^r(x, y+By, z+Wz)+clc.+R.. 



Développons la fonction /"(a;, y+By, z-j-D'x) par la formule de 

 Taylor , il vient : 



u + B'ti ^u+{ ~)Dy + ( ^)J)'z+ etc. + J [w + etc. ] 



+ etc. + Ru. 



1 



Dy =^2/ ^ — ^^'y + elc. 



D'r = S'z + -— J"x4- etc. : 

 donc 

 «+ D'« ^ « f ( £')(^y-î-etc.) + (-| ) (s'z + etc. ) 



+ «'■«-]- etc. + R„ 



= M + [ ( ;^ ) ^y+ {-^ ) J'^ + ^H ] 4-etc. + R„ ; 



d'où l'on conclut , comme dans le problème précédent : 



S'n^Su+i^^)^y+(^^)S'z. 



Si l'on veut exprimer S'u en fonction de $tt, sy, Sz, il faudra 

 substituer dans la formule précédente à la place de s'z sa valeur 

 que donne le problème précédent , et alors on a : 



Désignons la dérivée partielle de u par rapport hyeiz,z étant 

 fonction de y , par 



