du calcul des variations. 173 



Cinquième Problème. 

 Etant donnée la fonction 



M = f[^, y, ^) . 

 dans laquelle z est xme fonction de x et de y , et y une fonction de 

 ll'èlémcnt constant x, trouver la variation <fi'u. 



Solution, 

 On a: 

 M + D/M = /-(x + dx, J/ + D.2/, z+T),'z] + T>f[x+dx, y + 



D.y,z+î)Jz). 

 En développant par la formule 



f+Df=f+Sf+elc., 

 I on a : 



«+D/M = M + (;^)dx+(|)D.j/ + (^)D.'z + elc. + 



^ [u -{• etc. ] + etc. , 



( -r- ) [ ^<'= + e'c. ] + *M + etc. 

 az 



Mettons pour J.y et ^,'z leurs valeurs , nous aurons : 



rfw , , , dz , ^ , dz 



•dz 



( _: ) ,,2, ] + Su ! + etc. 



En ordonnant par rapport à Sy et ^z. on a 



{/m 



«+D/«=.+ l(|:)rfx+(|)., + (|)L(l;)dx + 



