du calcul des variations. ISl 



a 



/rIV dV 



dV d3,, dV dJ'z 



Si l'on pose Y = \^ l + p' -\- q^ , on a : 



r^^^i-o f^wo r^)-^ r-) = ^ 



DEUXIÈME SECTION. 



RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS. 



$u = 0, $,ii = 0, 5"t«=0, S,'u = Çi. (a) 



La résolution des équations Su = 0, ^,m=0, etc. , comprend 

 trois parties, savoir : 1° la transformation des variations Su, etc. , 

 en d'autres sans lesquelles les dérivées des variations Srj, Sz, etc., 

 aient disparu sous les intégrales définies dont se compose la fonc- 

 tion u. 2° la décomposition des équations hi = 0, etc., en plusieurs 

 autres réellement distinctes ; 3° la détermination définitive de tou- 

 tes les inconnues du problème. 



§ 1- 



IRANSFORMATION DES ÉQUATIONS. (o) 



Il suffira que nous donnions les règles pour la transformation de 

 JM , quand u renferme des intégrales définies , car les variations 

 composées et mixtes de u s'expriment en fonction de la variation 

 simple Su. Donnons d'abord les formules qui servent à la transfor- 

 mation dont il s'agit. Ces formules sont de deux espèces, les unes 

 se rapportent à la transformation des intégrales simples et multi- 

 ples à limites constantes, elles reposent sur l'intégration par par- 

 ties, les autres se rapportent à la transformation des intégrales 

 multiples à limites variables , nous ne donnerons qu'une seule for- 

 mule de cette espèce , savoir : celle qui se rapporte à la transfor- 

 mation d'une intégrale double à limites variables. 



Les formules de la première espèce auxquelles nous aurons re- 

 cours, sont les suivantes : 



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