du calcul dus variations. SOS 



Démonstration. 



Soit y = fx la fonction clicrchée. 



En substiiuant celte valeur, ainsi que celles de ses dérivées , 

 dans V, alors « prendra une valeur que je représenterai par ii^ , 

 et celle fonciion sera , par hypothèse , plus grande, on plus pe- 

 tite, que toutes ses déformées comprises entre les mêmes limites. 



Soit Uf=:f(à), nous aurons, pour représenter loules les défor- 

 mées de !/j, , les expressions 



"y +DMy=/-(a + :î)=.«, + ^ ,^ + ^nK=F(a), 



Wf — D«5,=/(o— .,) = My— ^^ • ï+¥--H=F.(«). 



Comme les fonctions F(n) cl F, (a) sont arbitraires, on pourra 

 toujours les concevoir telles que les différences 



Fa — fa, F, a — fa, 



soient aussi petites que l'on voudra, et que par eonséquent l'ar- 

 bitraire >/ soit aussi petit que l'on voudra. Cela posé, si nous ré- 

 solvons l'équation 



-~- — i?K = , ou -— !- — ijH = , 

 ax dx 



on en déduira pour 1? plusieurs valeurs, telles que o:, /3,... Soit <ï 

 la plus petile de ces valeurs, il est clair que toutes les valeurs de if , 

 comprises entre et ^z , satisferont aux inégalités 



^>.K, ou ->.H, 



et par conséquent aux suivantes 



du^ -^ .1.- f/"? -^ ,u 



--%>^K, on _2.,>>j'H. 



dx dx 



1° Soit maintenant !/ç nn maximum , on aura 

 "f > "f + '^"s' ' 



ou 



27 



