10 .CAROLI JOHANNIS MA.TTHES, iienr. Fit. 



tera eanclem inter se rationetn habere, quam anguloiuta oppositorum sinus. Es 

 quo sequeutes habemus proporliones : 



ex triangulo ABC, AB : AC = sin. C : sin. B 

 ' •- « V ADG, AC ; CD = 1 : sin. A, 



quae dabunt : AB : CD = sin. C : sin, A . sin. B ; 

 quam , universe quae hie sumta est , proprietatem si appliceinus ad triangulum APB 

 (Fig. i) , cujus perpendiculum PD" est radius circuli inscripti , proporüo üt: 



AB : r = sin, APB : sin. JA. . sin. |B 

 At est: sin. APB = sin. [i8o° — i(A +B)] = sin. i(A + B) = sin. (90' —^C) = cos. iC 

 ergo , AB : r = cos. JG : sin. |/\. . sin. JB. 



THEOREMA VI. Fig. 1. 



Circuir cifciWiscfiiiti'Ta'dius eandem ad oireuli inscripti^radiam rationem lia- 

 bet , quam unitas ad factum conlinuam sinuum diinidiorutn trianguli angulo- 

 rum quaier sumtum. Id est ■: Ä : r = 1 : 4 sin. iA. . sin. iß . sin. jC. 

 DeM0_1iJj3TB.ATIC>,,a, Est, ,i? : AB =: 1 : 2 sin.C (Tlieor. I. Coroll. 2) 



^ ' " ^ iiFc nön : AB :/- = cos. |G : sin, JA . «i«. iB (TheoK, V) 



;r 1,,; ex qujbus sequitjir esse : IL: rzzz cos. iC : 2 sin, iA. . sin. JB . sin. C. 



unde iterum Ri r = cos. iC : 4 sin. JA . sifi. JB . sin, | C . cos, iG 

 (notum enim est ex trigonometricis, esse in genere : sin. p r= ssin.lp . cos. ^j) 

 ergo, R: r =z 1 : 4 sin. iA . sin. JB . sin. iC. 

 G o R o LL ARIUM. lüde Sequilar , si spectemus, circulorum areas eodem modo 

 inter se esse , quo radiorum eorum quadrata , esse : 



00 : OP = R- : r= =: 1 : 16 sin.' i\ . sin.' fB . sin.^lß. 



ScHOLiON. Theorematis sequela necessaria : sin, ^K . sin. IB . sin. IC, — — T 



4i^ ' 



eliam statim ex figura demonstrari polest, ope elementorum trigonometriae , ex qui- 



bus scilicet eonstat esse : — =^ 



. . > //'Ua + c — b) Xl(a+b — c)\ 

 (.II.-ioodT) CC-, a,n.ik = ^{^ -^ ^ bö ) 



:,in.i^=^QS!L±lz:J^l^Mi±tz^^ 



«so : sin. Ik . sin. fß . sin. |G = i(^ + c-^) X|(a + c-&) xK^ + ^-e) 



• ..,,uv.i :-..„'.j,., abc 



.a^ .vü» . /» .Mz ; ;_. l{a + b + c)\y.l{b + c—a)yi.{a + c — b)xl{a+b—c) 

 -ül Jjcl.ur'ifs ilugachj ,«ioiij'3i jicnuis |(" + ^ + '') -"^ '''^'^ 



-■^' •'^= 4^!!ji ~i^ (Theor.I, Coroll. 1 et Theor. II). 



THE- 



