12 CA.ROLI JOHANNIS MATTHES, henr. Fit. 



Demonstratio. Algcbraica enim miiltiplicatione invenimus: 

 {a -\- b + cy =: a' + l>' + c^ + iah + lac -|- ihc 

 z:i a'^ -\- ¥ ■\- c» + -iinh + ac + hc) 

 Jam vero viJimus (Tlieor. I), binorum lalerum factum aeijnare perpendiculnna 

 demissum ex anguli intercepti vertice ad latus adversuni, muhiplicalum per dupli- 

 cem circuli circumscriptl radium. Constat igitur esse: 

 ab = 2R X CD 

 ac = 2R X BF 

 bc — 2R X AE 

 ergo, ah + ac + bc =. 2Rx (CD + BF + AE) ; 

 adeoque: (n + 6 + c)= = a» 4- i^ + c^" + 'iÄ X (CD + BF + AE). 



LEMMA A (1) Fig. 4. 



Si ex puncto quodam G , intra vel extra triangulum quoälibet ABC ducan- 

 tur rectae transversae per angulorum vertices C, B, A, aecantea lalera opposila 

 vel eorum producta in puncti's D, F, Y,, factum continiium triam partium , guae 

 in dicersia lateribus ea sumantur lege, ut ne duae unum eundemque verticem ha~ 

 heant communem , aequale est facto coniinuo trium reliqaarunu Id est : AD X 

 BE X CF = BD X CE X AF. 



Demonstratio. Duc per verticem C parallelam lateri AB, in punctis H et I 

 quae conveniet cum transversis ipsis vel produetis AE, BF. Quo facto l'acili iiegotio 

 apparebit , propter aequidistantiam rectarum AB, HI, esse aequales angulos DAG 

 et CHG , DBG et CIG , qui sint scilicet anguli alterai ad partes internas. Jam vero 

 etiam constat, aequales esse inter se angulos AGD et HGC, BGD et IGC , hi nempe 

 quum sunt anguli adversi ad yerliceni. Quae quidem sufficiunt , ut iude concludere 

 liceat» triangulum AGD esse simile triangulo HGC, nee uon triangulum BGD 

 triangulo IGC. Habemus ergo: 

 ex triangulis similj. AGD et HGC proport. AD : DG = CH : CG 



quae permatata dabit, AD : CH =r DG : CG 

 ex triangulis simill. BGD et IGC. BD : DG = CI : CG 



unde, BD : CI = Dr : CG 

 ex quibus pro-portio sequatur necesse est, AD : CH =: BD : CI 

 quam si iterum permutaris , erit , AD : BD = CH : CI 

 es triangulis eandem ob causam simill. AEB et HEG erit t BE : CE = AB : CH 

 denique ex triangulis simill. CFI et AFB : CF : AF = CI : AB 



ex quibus colligere facile , esse : AD X BE X CF = BD X CE X AF 

 -:- ^Jd + OA -;- LEM- 



(li YicL J. de Gelder, Begins. dgr Meetk. Lib. XIY, Theor. I et V, 



