COMMENTATIO ad QUÄ.ESTI01SEM MA.THEMATIGA.IVI. i5 



LEMMA B (i) ( Antecedens inversum ) 



Si in trianguU cujuslibet ABC singulis tribus lateribus AB , BG , AG , vel eorum 

 productis , puncta constitueris D, E, F, hac lege, ut factum triam partium, 

 quae dicersis in lateribus sunt , neque unum eundemque verticem habent com-mu- 

 nem, ADxBExCF aequale sit facto reliquarum. trium partium BO X CE X AF: 

 transversae CD, BF, AE , quae puncta illaJ), F, E, cum angulorum opposito- 

 rum verlicibus G, B, A, conjungunt , in unum idemque punctum G, vel inlra 

 vel extra triangulum, sibi occurrant necesse est. 



Demonstratio. Finge enim esse: AD X BE' x CF = BD X GE' X AF, 

 transversam AE autem non pervadere punctum sectionis G duarum reliquarum , tum 

 duci polest ex A per G alia tiansversa , quae latus subjectum BG in alio quodam 

 pnncto E transeat. Idcirco habebimus (Lemma A): 



■nr» T>,r\ V AF 



AD X BE X CF = BD X GE X AF , unde erit : ^ = ^jJ^^IqF ' 



BE' BHxAF 

 At est: ADxBE'x CF = BD X CE' X AF, ergo: ^, = ^5-^^^» 



ex quibus colligltur esse, BE ; CE =' BE' : GE' 



id est compositioue : BE ± CE : BE'±GE'= BE :BE' ^ CE :CE' 

 sive, BG : EG = BE: BE' = GE : GE' 



Jam vero quia est BC=BG, exinde sequeretur, essedebere: BE'=:BE', et CE=CE'; 

 quod tarnen, quum pars toto major esse nequit, sibi repugnaret, adeoque admitn 

 omnino non valeret. Sequelae igitiir ex eo quod ünximns deductae falsae quum sunt, 

 nemo amplius dubitare polest, quin proposilio noslra cum bypotbesi intime co- 

 haereat. 



CoROLLARIun 1. Fig, 3. Exinde Sequilar: perpendicula CD, BF, AE , 

 •quae ex trianguU eujusdam ABC angulorum verticibus C , B , A , öcZ latera op- 

 posila demittuntur , sibi ooe.urrere in unum idemque punctum, Q. 



Apparat enim esse similia inter se triangula rectangula ADG et AFß, BEA et 

 BDG, CFB et CE\, quod deinceps habent coinmunes angulos A, B, G; postüttt 

 igitur erui proporliones: 



ex triangulis simill. ADG et AFB, AD : AF = AG : AB 

 « « « BEA et BDG, BE : BD = AB : BG 



« « « CFB et CEA, CF : GE = BG : AG 



ex qnibus conchidas licet esse: AD X BE X CF = AFxBDxCE; quo facto casu» 



i'erocatus erit ad Lemma B. 



Co- 



{ I ) Vid. J. de Gelder, Begins. der Meetk. Llb. XIV. Tbeor. VL 



B 3 



