COMMENTATIO AD QUAESTIONEM MÄ.THEMA.TICÄ.M. 17 



AB : AE = CG : CE 

 et hinc: AB= : AE» = GG'^ : CE", 

 'quae membris permutatis fit: AB^ : CG° = AE= : CE^ ; 

 quam si componamus, eilt: AB^ +CG'^ : AE= +CE'=: AB^ : AE' 

 id est: AB" + CG= : AC^" rrAB^tAE'^ 

 (quia in triang. rectang. AEC est: AE^ + CE^ =: AC^) 



unde: AB^" + CG* = ^^ = j^ = iR\ 



Eadem ratione: AC^ + BG» = iR' et BC^ + AG'^ = 4Ä^ 



CoROLLARlUM 1. Inda facili negotio colligi polest: perpendiculorum par- 

 tium AG, BG , CG, quadrata in summam collecta valere ter circuli circum- 

 scripti dimetientis quadratum, demta summa laleruni quadratoruni. Id est : 

 AG^ + BG^ + CG^ = i2Ä^ — (AB"^ + BC» + AC"). 



CoROLLARiüM s. Fig. 1. Porro ex eo sequitur : perpendicula , quae eri- 

 guntur ex dim,idiis trianguli ABC lateribus , usque ad punctum,, in quod sibi in- 

 vicem, occurrunt , centrum, scilicet circuli circumscripti , aequare dimidias par- 

 tes AG, BG, CG, perpendiculorum, quae ex oppositis trianguli verticibus ad 

 eadem demittuntur latera. Ut sit : OE' = |AG, OF' = |BG, OD' = jGG. 

 Est enim in triangulo rectang. BOE' : OE'^ = OB» — BE'= 



idest: OE'»= Ä= — iBCS igitur: 40E'==4ß^ — BC« 

 at est , utvidimus, edam: AG"=r4R» — BG' 

 ' «... adeoque40E'* = AG» et20E'= AG. 



LEMMA C. Fig. 5. 



Singulorum, perpendiculorum, CD, BF, AE, partium, facta CGxDG, BGxFG, 

 AG X EG , aequalia sunt inter se. 



Demonstratio. Triangula BDG et CFG praeter angulum rectum , duos ad- 

 huc angiilos sibi respondentes , adversos ad verticem , aequales habent : sunt igitur 

 inter se similia; nee uon eandem ob causam triangula ADG et GEG. Dabunt nobis 

 triangala BDG et CFG proportionem : 



BG:DG=CG:FG, unde: CGxDG = BGxFG; 

 triangula ADG etCEGpraAent AG: DG = CG: EG, « CGxDG = AGxEG 

 ex quibus concludere licet: CGx DG=: BG xFG =: AG X EG. 



THEOREMA XIV. Fig. 5. 



I actum, continuum perpendiculorum partium AG, BG, CG» si diciseris per 



Q uniua 



