26 CAROLI JOHANNIS M ATTH ES, henr. fil. 



BAE, GAE et GBF, quos deinceps indicabimus literis /> , q, r, Inde sequitur lios 

 aDguIos iu summam collectos pares esse aiigiilo recto ; sunt eiiim 

 2R = AGB + CBA + BAG 



= {P + <?) + (P + *•) + (7 + r) 



= 2/> + 27 + 2r 

 igitur R = p + q + r. 

 PorrO trianguli intenii angulos E, F, D, perpendiculis AE , BF, GD, dimidtari , 

 ejusmodi ostendi potest. Ex similitudine tiiangulorum BDE et FCE , de qua in 

 antecedentibus cei'tiores facti sumus , aequales sunt inter se anguli BED et GEF, 

 adeoque etiam eorum complementa DEG et FEG, quod erat demonstrandam. Jam 

 Tero illorum angulonim valorem pauIo interlus scrutemur. Quia anguli GEG et 

 GFG sunt recti , tetragono CEGF circulus circumscribi potest diametroGG, cujus 

 tamquam chordae considerentur FG et GE , quibus insistentes anguli FEG et FGG , 

 EFG et EGG se invicem aequent necesse est. Erlt igitur aug. FEG = |DEF = 

 p, et ang. EFG = |EFD = y. Esse vero etiam ang. EDF = 2r, eodem modo 

 demonstratur. 



THEOREMA XXIV. Fig. 0. 



Facta singulorum trianguli ABC laterum AB, AG, BC , per sinum ejus an- 

 guli dimidii trianguli inlerni DEF , cujus coutinent vertice.in , iu summam 

 collecta aequant trianguli ABC areae duplum difisum per radium circuli cir- 

 cumseripli^ Id est: KG X siti.p + AG X sin. ^ + AB x sin. /• = 2/ ; R 



Demonstratio. 



AD 

 Est in triangulis simill. ABC et AFD , BG : AG = FD : AD , unde : FD = BG X ^ 



id est: FD=rBG Xsi/z./> 



BF 

 « « ,c « ABGetEBD, AG : AD=DE:BE, ergo: DE=ACx-r-=- 



Ad 



= AC X sin. -o 



,5 « i « ABQetgFC, AB ; BC = EF : GF, ethinc : £F= AB x ^J 



BG 



' ' = Ali X am, r, 



Habemus itaque : FD + DE + EF = BC X sin.p + AG X sin» g + AB x sin. r 



at -vidimus esse : FD + DE -|- EF = ^ (Theor. XXIII.) 



30 CfOa est igitur t BC X sin.p H- AG X sin, j + AB X sin. r = -= . 



o'lAa THE- 



