58 CAROLI JOHANNIS IM ATTIIES , iienh. Fil,.- 



QUE'", quae nempe praeter augulum rectum singula aequalem liabent angulum 

 HAI, E'TE'", UQE'". 



Erit ergo in triang. AOH : OP^ = AO» — AP X PII (Lemma F;. 

 Jam vero habemus ex triang. ACE'", AG : CE'" = AP : FE'" , 

 atiu triaiigg. simiU. ACE"' et AHB est: AC : CE"' = AH : BII 



ergo: AP : PE'" = AU : Ell et APxBIl = PE"'xAH 

 verum ex triangg. simill, AHI et PE"E"' est All: AI == PE" : PE'", 



unJc : AI X PE" = PL' ' X AH 

 adeoqiie: AP X ßll = AI X PE" 

 id est, quiaBH = PH, AP X PH = AI x PE" = 2Rr (ex figura) 

 quo substhuto , erit: OP- = Jl- — sRr. 

 Quod allinet ad secundam Tlieorcmalis partom , jam primum coustat esse: 



0Q= = AO^ + AQ X QH (Lemma F Coroll.) 

 Considerato triang. ACE"', cujus anguli C sup|)lementum dimidiat recta CQ, patet 

 esse: AG : GE'" = AQ : QE'" 



Labemus iterum : AG : CE'" = AH : BH 



ergo : AQ : QE'" = AH : BH , et binc : AQ X BH = QE'" X All 

 praebent triangg. simill. AHI et QUE'"* AI X QU = QE"' X AH 

 igitur: AQ X BH = AI X QU 

 vldimus autem esse BII = QH, adeoque : 



AQ X QH = AI X QU = 2Rx (ex figura) 

 quo substituto, erit OQ- = R- + sRix- 

 ScHoLioN, In primis attendendum est ad proprietatem egreglam , quae liac ex 

 demonstratione patcl. Scilicct : dislanl/atti cenlrorum circuli inscripii et exi/i- 

 srtripli ciijuslibet , dimidiari a circuli clrctimscrljjti perlpheria non modo, verum 

 eliain esse dlTneiientem, circuli cujusdam,, qui ex puncto sectionis tamquam centro 

 quam describatur, transit per verlices duorum trianguü ABC angulorum , qui- 

 bus inierjacet latus , quod exterius iangitur a circulo illo exinscripto. 

 Demonstratio II, quae debetur Gl. L'huilier (i) 



OP^ = R'- — oRr 

 OP=' = (OD' — PD")' + (AD' — AD")= 



= 0T>'^ — 2OD' X PD" + PD"= + AD'^ — 2 AD' X AD" + AD"> 

 = A0= — aOD'xPD" — AD"x AB + AD '= + PD"= 

 = il> — 2Rr . cos. C — AD" (AB —AD") + r» 



(i) Vidil. TWorimes sur les trlaugles elc, par M. L'huilier prof. ii Gciieve, iuiert. opcii Ann»l. 

 de Matliöin. par J. D. Gergonuc, Tom. J, pag. lijg. 



