48 CAROLl JOHANNIS MATTIIES, henr. fil. 



TIIEOREMA XLII. Fig. ii, 



Eecia Ä£"', qiiae trianguli ABC angulum quemUbet A dimidiat , harmnnice 



dii'idiiur in puncto, iibi secat trianguli inierni D"'E"'F"' iatiis (juoddam D"'F"' , 



atque in centro circuli inscripti. Ut sit : AE'" x HP ^ AH X PE"'. 



Demonstratio. Piadius PE" circuli inscripti et recta AE, ad perpentlicu- 



Inm quum insislant lateri BC langulo A subjecto, sibi invicem aequidistantes sint, 



uecesse est. Quam ob rem triaiigula AEE'" et PE"E"' inter se similia nou esse ne- 



queuut , ex cjuo sequitur proporlio . 



AE : AE"' = PE" : PE'-' = /■ : PE"' 



Log est, membrispermutalis: AE : r =AE"':PE"' 



est vero eliam: AE : /• =: AH : HP (ex Theor. anteced.) 



exquibus coucludimus: AH : HP = AE"': PE"', et Line: AE"'x HP = AHxPE". 



T>n/// a\/l)crix. __,„, l\/acrß ^^,,, c\/ abry 

 COROI-LARIUM 1. PE'" = ,rZ-^ ' PF"' = / /; , PD'" = / , ' . 



(6+c)fl! (St'-Vc)ß' {a+b,Y 



Apparuit euimesse: AE : r =: AE'" : FE'", ex quo elici potest : 



PE'" = ^r^ X /■ = ^7^ !— (Theor. XXXIX et Theor. I. Cor. x) 

 AE {b + c^a a ^ ' 



a'\/ bcrx 



— (^+7);" 



CorcEllariüm 2. Sequitur exantecedentibus proportio: AP : PE'" ^i -j-c : a. 



■»T ■!■ T>r^# , <^ X/'bcra 



Nam vidimus ess6 : PE' ' == ■ X 



b + c cc 



1 11 f V-bcrec T)f w 7 

 und« deducas licet: : PE ' =z b + c : a 



a 



hoc est : AP : PE'" = ö + c : a. (Theor. XL. Goroll. i.) 



COROLLARIUM 3. 



PE'" X I F" X PD"' =f^ X f-^f X '^"^ 



~ {a+b){a+c){b+c)nxßr " {a->rb)[a+c){b+c) 



^m^+m^^n-r ) (Theor. XXXVII. Coroll. ) 



l-{-7n + n — r' 

 CoROLLARiUM 4. Deduci potest ex Corollario praecedenti proportio: 

 4Rr^ . PE'" X PF"'X PD " = / + m + « — r: r 

 hoc est : APxBP x CP : PE'" x PF'" x PD'" = l-[-m + n ~ r : r (Theor. XL. Coroll. 2.) 



THE- 



