56 CAROLI JOHANNIS MATTIIES, henr. fil. 



SciIOLlON 2. Rectae AQ , BR , CS, ad perpendiculum quum insistanllale- 

 libas RS, SQ, QR trianguH externi QRS , nemo non videt , qua triangiilum ABC 

 ad triangulum internum DEF , eadem hac lelatione etiam gaudere tnangulum exter- 

 nutn QRS ad triangulum ABC; adcoque in liaec ab omni parte Iransfurii posse , 

 qnae in Theor. XXXII de illis exposuiraüs. Ex quibus igitur seqiiatur necesse est : 

 peripheriam circuK circumscripti triangulo ABC dimidiare non solum trianguli ex- 

 terni QRS fa/erßRS, SQ , QR , inpunctis k' , B', C, verum etiam perpendiculo- 

 rum partes PQ . PR. PS , id quod jam alia ratione innotuit (Theor. XXXVI. Dem. I. 

 S«hol.) ; porro: radium circuli circumscripti triangulo externi QRS duplum ease 

 radii circuli circumscripti triangulo ABC, 



LEMMA G. Fig. 12. (1). 



Extra triangulum quodvis ABC si adsumatur recta indejinila MN qualibet di- 

 reclione , ac dein producantur trianguli latera eo usque , ut secent rectam illam 

 MN in punctis L , M , N, erit AM x BL X CN = AL x BN X CM. Et inversa ra- 

 lione: hac lege si jlngantur tria puncla , in una eademque sint recta necesse est. 



Demonstratio Part. I. Primum ut appareat, ducatur recta adjutrix CZ 

 aequidlstans rectae AB. Quo facto ex iheoria similitudinis , Lasce obtiuenms pro« 



portiones : 



AM : AL = CM : CZ 



BL : BN = CZ : CN 

 CN s CM = CN : CM 

 quae per se invicem mulliplicatae dabunt: 



AM X BL X CN = AL X BN X CM. 

 Demonstratio Part. II. Tria puncta M', L, N ita aJsumanlur, ut sit: 

 AM' X BL X CN = AL X BN X CM', singulae vero lineae non in una eademque sint 

 recta. Producas rectam LN eo usque ut secet lateris AC productum in puncto M. 

 Jam conslat ex prima hujus Theorematis parte, ess^: 

 AM X BL X CN = AL X BN X CM 

 AM AL X BN 

 ethmc. cM = BL'^rCN 



AM' AL X BN 

 «X hypolhesi vero habemus : ^^ = BLirCN 



igitur : AM : CM = AM' : CM' 



in - 



(i ) CC J. de Gelder , Begins, der Meetk. Lib. XIY. Theor. I et II. 



