COMMENTATIO AD QUÄ.ESTIONEM MA.THEMATICA1M.' .' S^ 



r ;, {h+c—a) {a+c—h)al>c _ _b^ h'^c^ 26°c' 



*"^ = {^a — bf{a — c) — ß - c "^ {a-b)\a - c) . {a -b){a-c)'^ ".f ', ^.V.] 



quae si addatur aequalioni (a) , summa fit: 



, (b + c—a){a-\-c~b)ahc _ ^'C 5°c' ^.'c &°c3 



* + („_^,)=(„_c) — {a-cf "^ (a-6j^ '^ a — c"^ (^a — bY{a—c)' 



«nde erit : 

 «=(a— i)^(a — c)» = i»c^(a — S)^4-fi»c»(a — c»)» + 6=c(a — i)»(a_c) + 6=c3(a — c) 



— (ö + c — a){a-\-c — b)(^a — c) abc 

 Est vero: Z>^c=(a — i)'^ + 6''c (a— i)2(a_c) = ö=c(a — 6)» (c + a — c) = aö'^cCa — 5)^ 



et : ^c" (a — 0)^2 + b-c\a - c) = 62c=(« — c) (a — c -h c) = aZ.=c= (a - c) 

 qnibus substitutis , oLlinemus ; 

 X' ia—by (^a— cy = ab'c (rt — by + aÄ=c^ (a— c) — (i+c— a) (n-f-c — ö) (a— c) aic 



= aöc [Zi(a-Ö)'^— [(5 + c— a)(a + c--6) — ÄcJ(a— c)| 

 At reductione illucescit esse : 



b[a—b)' -[{b+c-a){a + c-b)—bc]{a—c)zsa^+b^+c^—a^b—ah^—a''c—ac''—b'c-'bc='+5abc 

 Vidimus autem in Tlieor. XVII Dem. esse : 



— P = —8I{R + r) =ai+b^+c^-a'b~ab^—a''C'-ac'—b^c-bc^ (ß) 

 cui si addideris: 12IR = 5abc . . 



apparebit esse etiam : 4i(Ä — 2r) =ia3^.53^c3— fl«3'^'5'--ß^c— ac*"— 5=c~5c^+3a6c 

 adeoque: ö(a — 5)= — [(^ + <^ — a)(a + c— rÄ) — bc'Ha — c) =:i:I{R — 2r) ; 

 Quo substituto valore invenimus : 



X 4/C^ — 2r) 



(a — by Qa — cy 



= ^ r^ r X (Ä' — 2Ä/-) (Theor.I. CoroU. 1.) 



(a — by Qa — c) V / V / 



4/ 



indeqne: LM = .v = ;^ =— ^^ X VL^'^ — ^^r) 



~ D"W^^F"V ^ *^^ (Theor. XXXIV. CoroU. et XXXVI.) , 

 €T, quo dedixcas licet propoitionem , LM : OP = 4/: D"W X P'V. 

 Idem denionsfrari potest ex triangulis BLM et ABM. 

 Ex triangulis BLN et ABN, vel BLNet BCL sequitur proportio: 



LN : OP = 4/ : D"W X E"U. 

 Triaugula AMN et ACN , vel B.MN et BGM tertiam nobis praebent proportionem : 



MN : OP = 4/ : F"V X E"U. 

 CoROLLARiUM. Vidimus in demonstratione hujus Theoremalis, esse: 



{a^b){a — c) (^a — b){b—c) {a — c){b — c) 



Ha S c H o- 



