4 ADRIANI JEREMIAE DOON 



tisfaciat assumla quaedam relatio inter quantitates varlabiles in eäi ipsä obvlas, qua« 

 tarnen relatio integrando non invenitiir. Poiiamus excmplum. 



Proposila sit aequatio dißereulialis 



xdx -j- ycly = dy\/(x'' + y^ — i=) ; 

 manil'cstum. est huic aequationi plane satisfacere aequationem x' + y^ — l>' = o. 

 Haec eniin praeLet diflerenliando xdx -}- ydy = o; et si jam aequatio proposita 

 cum bis aequatioiiibus x^ -\- y* — b^ = o et xdx -\- ydy =: o confeiatur, ipsa 

 identice redlgitur ad nihilum , quod indicio est aequationem x' -{• y^ — b^ z= o re- 

 vera esse integrale bujus aequalionis. 



Quod si -vero aequatio proposita integratur non invenitur x^ + y'' — i^ =3 o : ete- 

 nim si dividatur per V^(.x-' -|- J' — i') dicta aequatio evadit 



xdx -f- ydy , 



vC^"- + r - ^=) ~ '•^' 



cujus integrale completum a]'erto est YC^' + J"' — ^-) = J' + a, additä quan- 

 titate indeterminatä a. 



Jam vero perspicuum est aequationem inventam x- -{- y^ — b^ := o non coiitineri, 

 saltem tanquam integrale vulgare, in Loc integrali completo ; nam piilso radicali 

 liabetur 



x^ — 2ay — a' — i- =: o, 

 quae aequatio, quallscunque valor constans tribuatur quantitati a, numquam prae- 

 bebit aequationem x^ -^ y'- — b- := o : etenim baec aequatio pertinet ad circulum, 

 cujus radius estS; altera representat numerum infinitum parabolarum , quarum para- 

 meter, in illis singulis diversus , designatur per sa. 



Similiter innumerae aliae aequaliones difTerentiales proponi possunt, quibus satisfa- 

 ciunt aequationes quaedam primitivae, quae tarnen nullo modo sequuntur ex earum 

 iutegralibus completis, praebendo quantitati indctermlnatae qualemcumque valorem 

 constantem. Hujus generis integralia plerumque peculiari nomine dicuntur integra- 

 lia sinffiilaria , ut ipsa a reliquis integralibus distinguantur. 



5. Post inventum Calculum difTerentialem, cum hujusmodi integralia fortulto inno- 

 tescerent , haec ipsa a multis iisque Claris Mathematicis fere ita considerata fuere, 

 quasi vitium quoddam et defeclum hujus Calculi arguentia. 



Celeberrimus Clairaut primus fuisse videtur, qui de hoc genere integralium pe« 

 culiarem quandam mentionem fecerit. ilic enim tradidit in Conimentariis Parisien- 

 sibus ad annum i^S'i- (pag. 210.) has duas observaliones , quae merito illi singulares 

 videbantur: ninürum existere aequationes difTerentiales, quarum iutegratio per regu- 

 las vulgares multis molestiis laborat, quae tarnen post novam dilTerentiationem facil- 

 ime iniegrantur; tum etiam pleraque integralia, quae divinando inyeniuntur, non 



con- 



