G 



EESPOIfSIO AD QUAESTIONEM MATHEMA.TIC AM. i3 



Sequentia jani exempla tlieoriam hucusq-ue expositam illaätrabunt. 

 Vidimus aequationis differentialis primi ordinis 



xdx -J- ycly = dy \/{x'' +y^ — ö") 

 integrale completum esse 



x^ — 3ay — a^ — b- ^i: o , 

 ubi a denotat constantem arbitrariam. Faciänius igitur 



V = a;° — > 2ay — a'^ — b" 

 et sumamus hujus aequationis differentiale respectu unius a ; habebliur 



rZV 



itaque aequatio , = o praebebit a = — y, quo valiwe subsiiluto in integrali com- 



pleta V = o prodibit aequatio 



ar^ + y* — 5* = o , 

 quae satisfacit propositae aequationi dififerentiall, ut jam. vidimus , et ejus integrale 

 singulare est« 

 Data Sit aequatio diiFerentialis' 



ydx — xdy =: b[/ {dx'' -{" ^' ) « 

 'cujus integrale completum est 



y ^ ax — h\/ ( 1 + «'^ ) = , 

 a denotante constantem arbitrariam. Quoniam hlo quanlitates ät et y liberae sunt 

 a radicali, sufficit ad integrale singulare investigandum aequationem antecedentem 

 simpliciter dilTerenliare , ac si tantummodo quantitas a Yariabilis esset. Habemus 

 igitur 



d^ ah . /■ . V - 



j- = — « — —r — 1 — — = o, sive — x\/(\ A- o^ — ßö =; Ot 



onde pro ipsa a bi duo valores 



e quibus tantum alter valor a = — -, satisfacit aequationi -r- = o. Hoc 



vyy' — x^y da 



igitur valore substituto in integrali completo obtiaebitur 



y + y^^zri^-i ~ Vlb^^ = ° '''' *' + J'' - ^' = °- 



Aequatio x" + y^ — i» r= o praebet -7^= ~ - et si e proposiiä aequatione diffe* 



rentiali. ratio -f resolvitur prodibit 

 dx -^ 



B5; f. 



ax 



