HESPONSrO AD QUAESTIONEM M ATHEM ATIC Ä.M. i5 



Sumamus, ut rcgula generalis cxemplo applicetur , aequationem piimitivam 



y2 + x^ — aaar 4- a* — i* = o , 



ia qua a denotat coustantem arbitrariam. Habebitur differentlando 



dY , 



-j- =: — 2x -f- 2a z=i o et a ■^ X ; 



substituto deinde hoc valore a :=. x in aequadone primitivä integrale singulare erit 



y'- — h"^ ■= o sive y = ± 5« 



Quodsi jani aequatio pvimitiva respectu quantitatis a resolvitur erit 



ar=x± 1/(6= - y^) , 



quae nunc differentianda est tanquara functio duarum variabilium a = ip(.v , y) et 



deinde nibilo aequauda« 



dy 

 Erit igitur da = dx ±i ' — rr o , sive pulso denominatore da \/{b^ — j°} = 



dx 1/(6' — J") ± dy=:o. 



Aequatio \/{b^ — y-) = o sive y nz + b satisfacit evidenter liulc aequationi difife- 

 rentiali, et cum liquet ex aequatione a =z x + t/(6* "~ J"^) ipsam non deduci posse 

 ex aequatione primitivä nisi pro a assumatur valor variabilis a z=: x, coucludeuduia 

 est, quod caeterum jam novimus, aequationem y =: ± ^ esse integrale singulare. 



Aequatio y = + ö (ut hunc casum peculiarem propius invisamus) repraesentat 

 duas lineas rectas parallelas axi abscissarum ad distantiam i; hae igitur iiueae cum 

 nusquam illum axem secare possunt, necesse etiam est, ut tangens anguli intersec- 

 dy . 

 dx 



Aequatio primitivä j" + (« — fi)» = i* repraesentat circulum, cujus radius est 5 

 et cujus centrum positum est in ipso abscissarum axi, remotum ab orlgine abscis- 

 sarum per distantiam a. Itaque si liaec aequatio construitur tribuendo quanlitati a 

 successive omnes possibiles valores positives et negatives inde a nihilo usque ad in- 

 finitum , habebitur numerus iuCnitus circulorum , qui omnes sunt similes et aequales 

 omnesque tanguntur duabus illis rectis, quas integrale singulare y ^ ± l> repraesen- 

 tat. In punctis illis contactus Tangentes omnium herum circulorum parallelae sunt 

 axi abscissarum et coincidunt cum rectis y =: ± ö , quam ob causam aequatio y'^ + 



(x — aY = i° pro hisce punctis etiam praebere debet -,- = c Similia de re- 



CiX 



liquis exemplis observari potuerant; verum de his alio loco. 

 Proposita sit deinceps aequatio primitivä 



a = l/(y' — 2A* + B) — x\/{i + x^) — Nep. log. {_x + t/(i + *=)] , 

 cujus integrale singulare inveniendum est a denotante constantem arbitrariam. Haec 

 igitur aequatio dilTereutianda est x,y, et a variantibus^ et quandoquidem habe- 

 tur 



d. 



