RESPONSIO AD QUAESTIONEM M ATHEMATIC AM. 17 



et cum R =3 o conslituit integrale singulare, sequitur integralia singularia iufinitas 

 reddere functiones differentiales dx . i^(^> y) et dy . ^(x,y), sive, quod idem est, 

 integralia singulai-ia contineri in denominatoribus hariim qaantilatum. 



Hinc facilis regula dei'ivatur inveniendi integralia singularia, quando aequatio pri- 

 mitiva reducta est ad formam a = •^(-'«^, J') > " denotante constantem arbitrariam ; 

 Dam suIHcit tunc eam differentiare x vel y sola Variante et deinde, pulsis denomina- 

 toribus, cocfficientem ipsius da vel Lujus coefficienlis singulos, si adsunt , factores 

 nihilo aequare: ille factor, qui satisfacit aequationi differentiali propositae et cui 

 respondet valor variabilis quantitatls a, integrale erit singulare. Possumus baec quo- 

 que unä Operatione complecli , differentiando aequationem a = if/(ar, y) quantitali- 

 i)us X , y el a omnibus simul variantibus et sequendo regulam modo praescriptam : 

 q_iiod plane convenit cum iis, quae snperiore §. exposuimus. 



Sumamus aequationem ** — 2ay — a^ — i^ := o; obtinebimus 

 a^ ^p{x, y) =. —y± \/{x'- + y» — i^) , 



xdx y 



: ,unde Hauet in-tegrale singulare nuUam aliam aequationem esse posse , nisi x^ -\- y^ — 

 I £' = o atque hoc eo evincitur, quod haec aequatio satisfacit aequationi difTerentiali 



xdx "^ ydy — dy \/ix^ -i" y' — ^') =: o et quod Ipsi respondet « = — y. 



Expositis regulis , quibus in quovis casu integralia singularia ex aequationibus pri- 



nütivis deduci possint, priusquam ad aliam materiam transeamus , superest ut Ltc 



observationes nonnullas adjiciamus, quae bancce theorlae partem spectant. 



1. Ex iis, quae in bac §. invenimus, facile perspicitur, quando aeqTialio priml- 



tiva reducta est ad formam a =2 ip(x , y) , integralia singularia quaerenda esse ia 

 f ejusmodi expressionibus , quae differentiando denominatorem. acquirant, quales in 



functionibus algebraicis solae sunt radicales. Nee tarnen inversä ratione concluden- 

 |-'dum est, quemlibet denominatorem, qui orilur differentiando aequationem a :=\p{x,y) 

 ; et qui satisfacit ipsius differentiali, fore integrale singulare; nam tunc demnm lalis 

 rdenominator conslituet integrale singulare, si ipsi in aequatione priniitivä a :=\p(x, y) 

 ["respondet valor variabilis quantitatis a, quippe quod integralis singularis propria 



'»ota est. Ponamus v. c. aequationem primitivam. praebere 



kU denotante functionem variabilium ä; ety, et '„, repraesentante differentiale pri- 



G mum 



