RESPONSIO AD QUAESTIONEM MATHEM ATICAM. 19 



mus (%^J = — 2y — 3a et a = — y ± !/(*« + y' — ä=); habemus igitur 



R = V(^-" +y'' — Ä») fet £?.;;,(*, y) = fZ.l/C*^ +y' — l^) — dy et aequatio diffe-' 

 reutialls R X d.^{s, y) = O erit 



V(*" + y^ - Ä=) X [fZ.l/(-i;' +r - Ä") — f7y] = o, 

 quae evolvendo reducitur ad xds +ydy—dy y/ {s^ +j^ — h-)-=.o. Posito jam R = 

 Labebimus \/(*^+j^ — £=) = o, quae aequalio satisfacit propositae aequationi differen« 



liaji. Hoc autem "valore alter factor redigitur ad d.^{x , y) = — dy vel c7« = dv 



unde a = — y; itaque a ■=. — y est valor simultaneus constautis arbilrariae , qui 

 convenit integrali singulari x* + y^ — S« = o, ut etiam sequitur ex aequatione 



T-p- J == 0. Nulla addeflda est constans arbitraria integrali aequationis daz=. ~ dy 



nam si integrale completutn Luius aequationis esset a + C = — y semper tarnen 



subslituere licet a pro quantitate a +- C , quaniam quanlitas a est ipsa arbitraria , 



quo facto liabeo a ■^ ~ y, 



Quodsi nunc consideremus , omnem aequationem differentialem priinl ordinis , post- 



dv 

 quam ex eä resoluta fuerit quanlitas j-_, reduci posse ad formam R X f^ • '/'(■'^ > T) = o, 



manifestum est, unamquamque aequationem differentialem, quäe admittit integrale 

 singulare R =: o, semper proponi posse sab tali forma , ut integrale singidare tanquam 

 factor in ipsä occurrat : sublato autem hoc factore integrale singulare non amplius 

 satisfacit aequationi differentiali , quatenus scilicet integrale singulare non reducit 

 ipsam ad nibilum, quippe quod ipsi naturae integralium singularium repugnaret. 

 Sed tunc aequalio differentlalis sese offerre debet sub forma d.\p(x, y) ^da, atque 

 haec repraesentabit, posito R = o et reducliorie bene instituta , differentiale primum 

 illius functionis peculiaris da =z d.f{x, y) , qua integralia singularia distinguuntur 

 ab aliis integralibus particularibus. 



Haecce observatio debetur, teste Gl. Lacroix, Viro celeberrimo Poisson, qui - 

 Cam demonstravlt in Diario, cui titulus est: Journal de l'Ecole Polylechnique Ca.^ 

 hier XIII. Vid. Lacroix, Tratte du Calcul Diffe;renU.el et Integral .Tom. H. 

 CLap. V. §. 6i6. ■.''■" '" ' ". •/'■ ■ ■" "'■ 



"^ -C ■* _ _ . . . _ . li hl ■-.^ ;•"■..( ,.T- - vr* 



3. Quando ex aequatione differentiali inter duar yariabiles resoluta est quantitas 



-j- , semper existit factor, cujus ope aequatio differentiaHs dy — dx X Fi^^y) = o 



integrabilis reddi possit; ita ut, M illum factoiem denotante, aequatio M x [^ — 

 i'X» , y) dx} ~. o sil differentiale exactum cujusdam functionis ^(x , y) atque tunc 

 <i. := ^ix,,,y) ei;it Ipsius integrale (;pm,pletum (*J. 



Ita- 



■ (*) Cf. Lagrange, Zecons sur le Cakul des Foncüons , Lee. XiH. edilionis novae. 



G 2 



