f 



RESPONSIO AD QüAESTIONEM MATHEM ATICAM. 21 



Ültfegrali painlculari cp{x , y, 7i) ^= o , in quo constans arbitraria induit valorem de- 

 terminatum a ■=. h , integrale complelum iterum restaurari posse introducendo no- 

 ■vam quanlltatem indeterminatam i et substituendo pro ipso h, h + ''; naDi si tunc 

 tribuuntur quantitati i omnes possibiles valores positives et negatives , aequalio 

 Cp{x,y, h ■\- i)z=:.Q praebebit omnes illas aequationes parliculares, quae in conipleta 

 aequalione primiliva conlinentur. Atque vice versa facile perspicitur unamquamqiic 

 aeqaationem primiiivam , quae hac ratione completa reddi nequit, non esse posse in- 

 tegrale particulare , sed ipsam tunc referendam esse inter integralia singularia. 



Sit igitur ;- = F(*, f) aequalio differentialis quaecümque resoluta respcctu ipsius 



-^, cui salisfacere supponilur aequalio primitiva y •==. (^{x , li) in qua expressio 



quaecümque 7j , sive illa sit valor quidam determinatus sive in genere functio quae- 

 dam variabilis, in locum constantis arbilrariae successit. Substituto jam pro h, 7l -^ i 

 supponamus aequationem y=- <p{x , h -\- i) repraesentare integrale completum propo- 

 sitae aequationis dy -^Yijx, y) dx et üngamus porro quoniam quantiias h incog- 

 nita censetur et propterea subslitutlo non directe procedere potest, integrale com- 

 pletum y zz <p{x , 7l -\- i), quippe quod fieri semper potest, evolutum esse in se- 

 riem secundum potestates adscendentes ipsius i progredientem. Hujus seriei genera- 

 lis forma erit 



y — (^{x, h) 4- Pi 4- Q^■»• + Rj« + caet. , 

 P, Q, R caet. functiones ipsius x denotantibus , primus terminus est Cp{x , h) nam si 

 ponitur i ■= o prodire debety = Cp{x, h); exponentes m,n., caet. denotant numeros 

 qualescumque sed posllivos, quandoquidem posito j z= o non habetur r = oc : porro 

 habetur 7n > 1 , n"^ jn, caet. ( bypoth. ) : secundus terminus semper concipi potest 

 esse formae Pi; eteuim etiamsi bic esset Pj'»" attamen ipse denuo eandem formam in- 



t 

 dueret facto i = l"-, quod cam i designat quantitatem indeterminatam Ceri semper 

 licet. 



Haec autem series satisfacere debet propositae aequationi differentiall dy == F(x , y) dx 

 aique ex hac ipsa eonditione occasio petenda est ad quantitates ineognitas P,Q,R, 

 caet. m, n, caet. determinandas. 



Necesse igitur est , ut pro eodem valore ipsius y series illa et aequatio 



dyz=:F{x,y) dx eundem valorem praebeat rationi differentiall — (*\ Sub- 



dx 



stituatur igitur in aequalione differeniiali dy = F{x, y) dx pro ipsa y espressio 



(*) Cf. Cl. de Gelder, Differentiaal Rekening, I. Deel J. 118. Hadi. 320. 



G 3 



