RESPONSIO AD QUAESTIONEM MATH EM ATICAM. 3J 



inservire debet ad quantitates incognitas P , Q , II caet. m, n, caet. determlnandas. 

 Etq-uoniam sapposnimus ulrurdque membium aequationis (B) ördinatum esse se- 

 cundum potestaleä adscendentes ipsius i, statini in oculos incurrit omnem diver- 

 tatem, quae in illis determinandis sese ofTerre polest, pendele a primis termiois id? 

 et Vp i* dx, 



Primum si habetur « r= 1 , positls ?7z =: S, n = 3, caet. aequationes 

 dF = Ppdx, dq = Ydx, dR = Wdx, caet. 

 singulae locum Labet et ex iis eruitur 



-^ z=. pdx , P = efP'''^ , etc. 



e denotante numerum cujus logarithmüs hyperbolicus sit r= 1 , et sie successive om- 

 nes termini seriei (A) determinari poterunt. 



Eodem modo si haberetur « > 1 ; etenitn quamquani hoc in cäsa Vpi'dx non 

 comparari posset cum. termino idF , ipsuni terminum id? delere possemus posito 

 iZP = o; deinde aequandis m =1 k, n := 'S , caet. 



dO £= Vpdx, dK = \dx, caet., 

 haheremus P =: constans vel simpliciter P iz: 1 , Q = J^pdx, caet. Et hac ratione 

 Talor completus i^jsius j plane per seriem C^) innotesceiet. 



Quodsi vero evenit nt sit « < 1, (quamquam semper tx. positiva est_) terminus 

 Vpi'dx nullo modo comparari posset , neque cum piimo termino irfP neque 

 etiam cum omnibus insequentibus j'^tZQ, i"dR, caet., in quibus exponentes m, n, 

 caet. omnes sunt >■ 1. Quam ob causam cum hoc . in casu aequatio (A^ nnllo 

 modo identica reddi potest cum aequatione Cc) ita quidem ut i maneat constans 

 arbitraria, concludendum est, aequalionem primitivam y nn <p(x, 7i) non contineri 

 in integrali completo ne^que adep ejsse, possp integrale .vulgare. 



8. Integralia singularia gaudeiu igitur hac proprietate, quod pro iis eyoluta functio 

 JEJ(*,y + w) continere debet terminum pi", in quo est « < 1 et > o; et vice 



vetsä si pro data aequatione primitiva aequatio differenüalis -—■=:F{x,y) in evolu- 

 . cix 



tlone ipsius F(x, y + u) talem terminum continet iijdiclo est ipsam esse integrale 



s'iagulai'e. 



In genere autem evolutio functionis -j- := F(x ,' y) , quando elemento varlabili y 



incrementum Tel decrementum quodddam u tribuitur Theoremate Tajloriano sie ex- 

 hibelur (.*) 



{*) Cf. Cl. de Gelder, opere citalo, IDeel §.69. pag. i5o. 



