RESPONSIO AD QUAESTIONEM MA THEMATICAM. ,$ 



I. Äbsque ulla ope integralls completi Invenire integralia singularia, quae data aequa- 

 tio differeutialis admittat ? II. Quodsi aequalio primitiva satisfaciat datae aequalioni 

 difFerendali, ex hac ipsä dijudicare , num aequalio proposita in integrali completo 

 contenta sit, nee ne? id est, num ipsa sit integrale vulgare an vero singulare. Sci- 

 licet harum quaeslionum solutio peli polest ex iis ipsis principiis quae exposuimus. 

 Quando aequationis cujusdam differentialis dy =z pdx integralia singularia desideran- 



tur, formanda est ratio diiTerentialis partialis— ; — ^ f vel i. v Tel 



dxdy \ dydxj •' 



X unice Va- 



riante: quodsi jam integrale singulare esisiit ratio differentialis 

 M 



dxdy 



expressa erit 



per fractionem — et quaadoquidem haec fractio per integrale singulare redigitai 



INI' 

 ad formam — successive omnes factores denominatoris N nihilo äequandi sunt, el 



quisque factor qui nihilo aequari potest, ita ut numerator M non simul evanescat 

 et qui propositae aequalioni differenliali satisfacit , constituit integrale singulare. Et 

 vice versa si aequalio quaedam primitiva, quae satisfacit aequalioni differenliali 

 dy :=z pdx , reddat .N = o ita ut M non simul deleatur , haec ipsa erit integral« 

 singulare ; vulgare vero si haec conditio non implelur. 

 Exemplo sit aequalio differentialis, quam jam ante consideravimus 



xdx + ydy — dy X Vi*'- + jy' — i») = o , .....( o ) 

 quae praebet 



dy 



dx —y + V(*^ + :►" — b--) 



lade obtinebitur : 



äy _ X 



et 



— z=i ~ y + v^^^° + y" — i>l 



dy X 





dxdy i- Y + t/(*» + J" - 6^)] X 1/(*' -\-r — b^y ' ' 



d'^x — J' + J' V{x^ + y' — 5' ) + ^' 



dydx ~ "" «1 y/(x'^ + j,s — b^) ..,.,.. 



Expressio ( i ) reducltur ad — ^ = oo ponendo tum 



dxdy *• 



- :y + V(** + r^ — 6=) = o - \ 



tum etiam VC*^ + J* — ä'^) =r o. 



Prior aequalio — J + V'(w» + j^ _ i=) = o praebet hanc sequentem 



x^ — V^ ■=. o, 

 quae satisfacit aequalioni (a) positoy = o; quandoquidem inde sequitur * =r ± 3 et 

 <2x = o. Verum haec ipsa aequalio tantum casus peculiaris «st allerius x' -j- y^ — i» 

 ^ O, quae satisfacit aequalioni propositae; itaque haec erit ipsius integrale singulare. 



O Ex- 



