RESPONSIO AD QUAESTIONEM MATHEMATIC AM. v 



y =: ^(«), ita ut ipsa sit integrale singulare aeqaationis differentialis ~-^=n f*> 



Hie igitur proprie habendus est inventor veri characteris integrallum siogularium. 



Verum regula illa, quae inde deduci polest, nempe quod integrale singulare aequa- 



cPv 

 tionis differentialis dy = pdx reddat y-^ = CO , debetur viro celeb. La place 



qui eam tradidit in dissertatlone insertä in opere: Me'm. de rAcad. des Science» 

 de Paris ad annum 1772. 



. In demonstratione praedictae proprietatis ea secuti sumus, quae inueniuntur in one-» 

 re: Theorie des Fonctions analytiques Chap. VIII et IX; verum proprietas illa etiam 

 deduci polest, ut mox videbimus, e theoria in § 3 et seqq. exposita, atque sie ea 

 ipsa, quae modo esposuimus inservire poterunt ad hanc theoriam, si opus sit ma- 

 gis confirinandam. 



10. Lagrange ostendit in opere Legons sur le Calcul des Fonctions (Lecon 

 XV edltionis novae ) unamquamque aequalionem difFerentialem , quae integrale sin- 

 gulare admiltit, altera differentiatione eam formam induere posse, ut ipsa in duos 

 factores separari queat , quorum hie ducit ad ejus integrale completum, alter vero ad 

 ejus integrale singulare. 



Aequaiio differentialis priml ordinis cujus integrale completum representatur per 

 V = (pix, y, a) =z o, nihil aliud esse potest, nisi aequatio quae resultat ex elimina- 

 tione quäntitatis indeterminatae a inter aequationem primitieam V = o et ejus dif- 

 fereutiale 



Cz^)'^^" + (sJ)'^'' = ° (O 



uti sequltur e vinculo quod inter aequationem primitivam et ejus aequationes deri- 

 vatas intercedit. 

 Quodsi igitur ex aequaiione (1) quantitas a resolvitur ipsa in genere prodibit ia 



functionem quantltatum x, y et ^r-j quam denotamus per a = ffx, y, -^ ) ; et 



«ubstituto deinde hoc valore in aequatione primitiva cp{x , y, a) = o aequatio inde 

 resultans 



<|)[.v,J, ^(^,j,.g)] = o . . C = ) 



exhibeblt aequationem differentialem primi ordinis, 



Si jam aequatio ( 2 ) differeniiatur x et y variantibus aperte Loc eodem redibit ae 

 ti aequatio primitiva cb{x , y, a) zzz o primum differentiatur x, y et ß variantibus, 



sub- 



( * ) Vid. Inslituliones Calculi integralis Tom. I. Probl. 7». 



D 3 



