RESPONSIO AD QUAESTIONE.M M A T HEM ATIG AM. 39 



differentialem primi ordinis (p[x , y,f(x, y, p)\ = o eliminatur quantitas p, incide- 

 mus ia aequalionem a characteribus differendalibus prorsus liberatam et conslau- 



te arbitraria carentem, quae porro simul locum habet ae aequationes — =: o et 



$[*. y» /(^5 5'» /')] ^^ °* ^*^*^ aequätio igitur nulla alia esse potest nisi integrale sin- 

 gulare ipsius (^\_x,y, f{x, y , p)'] = o. Caeterum hoc eliam inde coiicludi potest; 

 quando ex aeqiiatione cj)[jf , y , f{x, y, p)] = o quantitas p ope aequationis R rr o 

 expellitur, evidenter idem fit (quandocjuidem p unice continetur in f{x,y,p) =z a), 



dV 

 »C si quantitas a expellitur inter aequationes — =: o et <:p(^x,,y, «} = o. Itaque 



factor R ^ o ducit ad integrale singulare. 



Secnndo loco posito M + Np + Oq=zo integrando restaurabifur aequatio dif- 

 ferenlialis primi ordinis a z:i f(x , y , p) , e qua ille factor suam orlginem traxit. 

 Eliminato deinde p inter integrale a = f(^x, y, p") et aequationem difftrentialem 

 <P[*> y» /^C^' 3'' Z')] = ° bujus integrale completum innotescit. Namque hoc pacto 

 res aperte eodeni redit , quandoquidem quantitas/» unice continetur in f(x,y, p") 

 ac si in aequatione (p(_x , y, f(,', y-> P)'l = o denuo substitueretur /(^, y, p) = a, 

 quo facto resultaret aequatio primitiva Cp(ix, y, «) ■=: o necesse est. Hoc etiam 

 manifestum est e theoria generali aequationum difTerentialium. Namque factor 

 M -j- ^P + Oq ■=! est aequatio differentialis secundi ordinis, a quovis factore II- 

 lerata. Hujus aequationis integralia prima et completa sunt aequationes a-=:f(x,y ,p') 



et ^\_x , y , /(^x , y , />)] =: o , e quibus si eharacter differentialis p = ~ expellitur 



aequatio inde resultans erit aequatio primitiva completa. 



Si factor M -}- Np + Oq = o bis integratur obtinebimus ilerum aequationem prl- 

 mitivam. Haec auteffl dupla integratio introduclt duas constantes arbitrarias; sed 

 cum aequatio differentialis (p^x, y , fQx , y, p)] = o sit primi ordinis, hujus integrale 

 completum tanlummodo continere potest unam constantem arbitrariam. Oportet igi- 

 tur ut relaiio quaedam intercedat inter duas illas constantes inter integrandum re- 

 ceptas. Ut haec relatio inveniatur substituendi sunt in aequatione differentiali 



(J)[«, y, f{x,y, py\ ■=. o valores quantitatum j et — , desumti ex aequatione pri- 

 mitiva inventa ; qua substitutione confecta variabiles x Gl y sese mutuo destruent et 

 restabit aequatio inter illas quantitates constantes, e qua altera ulterius ope deter- 

 minari potest. Quodsi igitur una harum quantitatum hac ratione determinatur et in 

 aequatione inventa substituitur aequatio primitiva plane cognita erit, 



Conslat igitur unamquamque aequationem differentialem, quae gaudet integrali 

 «ngulari, [sie differenliari posse ut ejus differentiale in duos factores resolvi ^ueat. 



D 3 Et 



