5o ADRIANI JEREMIAE BOON 



Et quandoquidem factor R suam origiuem trahit e substitatione ipsius a'=zf{x, y, n) 



dY 

 in coefiiciente differenüali -j- , inversä quoque rationc concludendum est, si Uli 



factores non existunt , neque tunc etlam esistere posse integrale singulare. 



Liquet nunc etiam iuuumeras existere aequationes differenliales, quarum integralia 

 completa iterum differenliando facillus indagaii posslnt; namque hoc evenire debet, 

 quotiescumque factor M + -Np + Ocj = o facilius jutegrari polest quam ipsa ae- 

 quatio differentialis de qua agitur. 



Hoc theorema solvit igitur speciem quamdam paradox!, in quod jam prldem non- 

 nuUi matliematici inciderunt , et de quo nientio facta est in initio Iiujus disputationis. 



11. Ut haec jam appliccntur ad inquirendum integrale completum et singulare ope 

 factorum ü et il/ -j- iV/j + Oi/ = o , aequatio dilTerentialis proposita <p ^{x , y , p) -z^ o 

 prinium redigenda est ad formam Cp[x , y, f{x,y, p)] = o ac deinde differcntian- 

 da. De hac autem forma difficile judicari potest, nisi ipsa aequatio primitiva cog- 

 nita sit. Cum autem aequationes <J),(x,y, p) ■= o et (p[x , y, /{x,y, p)] = o am- 

 bae sequuntur ex eädem aequatione primitiva eliminatione ejusdem quantitatis con- 

 stantis , semper quoque pervenire possumus aptä conjunctione aequationum <J)i(ji:,y, p) 

 = o et d.(pi{x,y,p) =: o ad aequationem secundi ordinis , quae conlinet eosdem 

 factores ac Cp\x, y, f{xy y^/^)J :=: 0, dummodo proposita aequatio admiltat inte- 

 grale singulare. 



Quando autem illi factores revera in aequatione secundi ordinis ä .(^^{x , y,p) ■=: o 

 continentur, ipsi plerumque facile in oculos incurrunt, si aequatio diiTereutialis e 

 qua illi petendi sunt sie proponitur (vid. supra aeq. (4)) 



71/ ß + NRp .,, 



nnde innotescit factor R, quaerendo talem divisorem communem , qui constat ele- 

 mentis x, y et p atque hie divisor communis R = o praebebit integrale singulare, 

 ut supra lalius iudicatum est. Sublato deinde hoc divisore communi , si reliqua par» 



,• ■ f t:\ _ ^^ + ^'P ■ ...... 



aequatioms i^ö) </ = — — integralur , et ope inventx integrahs quantitas /» 



expellitur e data aequatione differentiali Cp,[x, y, p) = O, Jiabebitur ipsa aequatio 



primitiva. 



Verumtamen exstat forma generalis aequationum diflerentialium , in quibus illi 

 factores scse sua spoute maniiestant. Hoc nimirum locum habet quando factor 

 M + A'/J + Oq = o simpliciter redigitur ad g == o ita ut aequatio differentialis 

 secundi ordinis sit formae Jlq = o. Factor R = o praebebit tunc integrale sin- 



gulare^ et posito g = -j- ^ o obtinetur p = constans = a, quo valore Substitute 



