RESPONSIO AD QUAESTIONEM M ATHEM ATIC AM. ?i 



in aequatione differenUall (pi{x,y,p) := o innotescit ejus integrale completum 



fl>i(*. r» °) = o- 



Facile est hoc in casu formam aequationis primitivae et aequationis differentialis 

 <Pi(x , y , p) =: O invenire. Factor q ■= o praebet integrando 



p = ■£,= a ex. y — ax + b 



haec Igitur erit aequatio primitiva , in qua a et ö sunt quantitates constantes, dupli 

 integratione oitae. Verum cum sit (pi{x,y,p) = o aequatio difftrentialis primi or- 

 dinis , ejus iniegrale completum tantummodo continere polest unam constantem arbi- 

 trariam; necesse igitur est ut relatio quaedam intercedat inter quantitates a el h; 

 ;quam ob causam si in aequatione difFerentiali (p^ix, y, p) =: o substituerentur valores 



. . ■ ■ f^Y 3 ■ .... 



ipsius y et ipsius — , desumti ex aequatione primiiiva y = ax -\- b , tunc eveniret ut 



quantitates variabiles sese mutuo destruerent et ut relinqueretur aequatio inter con- 

 stantes a et ö, cujus ope altera quantitas constans in funciionem alterius determi- 

 nari posset. 



Ponamus igitur i =/(a), /(«) denotante functionem unius quantitatis arbitratiae 

 a aliarumque quantitatum constanti determinatoque valore gaudentium, aequatio 



primitiva tum erft : y — ax — /(n) = o, unde habetur — = a , quamobrem aequa- 

 tio differentialis prImi ordinis (pi{x, y , p) ■= o erit y — px — f{p) — o. Deinde 

 posito d.f{p) :=/'{p) X dp aequatio secundi ordinis erit — [* + /"(/»)] X ^ = o; 

 factor 9 =: o praebit p ■=. a, unde ope aequationis y — px — f{p) = o integrale 

 completum y — ax — /"(a) =r o; et integrale singulare innotescit eliminatione ipsius 

 p inter aequaliones x -f- j'{p)-=z o el y — px — f{p) = o. Quaevis igitur aequa- 

 tio differentialis hujusce formae y — px -- f(ip) =: o habet integrale completum pla- 

 ne ejusdem formae y — ax — f(a) = o, a denotante constantem arbitrariam: prae- 

 terea talis aequatio admittit semper integrale singulare , quod invenitur eliminando 

 p inter aequationesy — px —f{p) = o et * +f'{p) — o. 

 Hoc in genere versatur aequatio supra allegata 



ydx ^ xdy ~ b X Vi.'^x'^ + <>-') =0. •; 



ys\y —px — bX t/(i + p^) = o, 

 qaae constitult casum peculiarem formae generalis y — p* — /(p) = o; itaque 

 ipsius aequatio primitiva erit 



y - ax — b X V{i + o.^) = O. 

 Ex hac aequatione primitiva inventum est integrale singulare a;'^ +_y» — 5> = o, quod 

 praebebit quoque aequatio differentialis proposita , si ipsa secundum regulam exposi« 

 tarn tractatur. 



Sei- 



