EESPONSIO AD QUAESTIONEM M AT HEM A TIC AM. 5^ 



semper etiara sie ti-ansformari potent ope aequationis cPf{x, y, ji) = o , ut divisor 

 communis R sese manifestet ! posito tieinde iZ z= o, y evadit y = - et integrale sin- 

 gulare habebitur eliminando ipsam p inter aequationes i? = o et Cp^{x , y , p) := o. 

 Itaque perspicuum est rationem differentialem -j^, ex aequaiione (piix,j,p) = o 



derivatam, in genere per integrale singulare redigi ad -. 



o 



Possumus igitur inqnisitionem hujus divisoris communis sie evitare. Ponamus simul 

 yi+£pz=:ö et C= o, babentur tum duae aequationes] quae simul locum habere 

 debent et quae hac ipsa conditione plerumque induunt formam simpliciorem. Elimi- 

 nemns quantitatem p inter has aequationes et aequationem differentialem Cp,{x,y,p) = o. 

 Si jam integrale singulare existit aequationes inde resultantes debent prorsus inter se 

 convenire ac tantummodo unam constituere aequationem, quae erit integrale singula- 

 re. Si autem ipsae non inter se conTeniunt tiinc etiam integrale singulare existere 

 iiequit. 



Hac quoque ratione co^nsideremus aequationem praecedentem xdx -f ydy ~ 



^Wi''- +r -b") = o, unde ^ = ■ f „ _; quae porro praebet 



differentianclö posito ~ = p et dx = const. 



fy _-. r' — &= — xyp + (xp — y) X l /(^° + J= — b=) 

 Ponamus jam: y^ - l>- — xyp + (xp — y-) X Vd^' + y' ~ b^-) z= ;..:(• 1) 



«' _ \.- y + VC^' +y= — ^0]=" X t/C«' + y — b'j = o ( 2 ) 



Aequatio posterior praebet extemplo vel 



— y + l/(^" + y^~ b-) = o vel y(x^ + y" — ^0 = 0. Piimo in casu habetur 

 y = l/(x= + y- — Ä=), quo valore aequatio (^1) evadit — 6= = o: hi valores re- 

 jiciendi sunt quippe non inter se convenientes. Altera aequatio !/(*= -j-y= — i^) =r o 

 redigit aequationem Ci) nd y" — h' — xyp = o: porro aequaiio differentialis pro- 



posita praebet, supposito \/(x' + y^ — b') = o, xdx + ydy = et "^f = p = — 'i; 



ax y 



quo valore substituto in aequaiione y' — i» — xyp = o habebitur x- + j= — b' = o , 

 quod plane convenit cum priore va'ore ^(x^ + y^ — b'-) = ex aequaiione ( 2 ) 

 desumto; haec igitur aequatio erit integrale singulare. 



Supra eliam invenimus ex aequaiione xdx + ydy = dy \/Qx^ + J^ — t)^), remoto 

 radicali , 



i'p' — x'p' + 2xyp + «» ES C fl ) 



E 2 et 



