RESPONSIO AD QUAESTIONEM MATHEMATICAM. 3/ 

 nnde sequuntur quantitates 



^""^ (s)x(|) ^"■'^ (£)x(S) 



et si jam in hisce aequationibus valor ipsius p =r i^(*> y) substituitnr ambae illae 



quantitates CTadunt functioues uniüs * et y; porro factor ( t— j evadit hac sub- 



stitutione talis expressio> quae si nihilo aequatur erit integrale singulare aequationis 

 propositae (p[x , y, f(x, y, p)] = o. 

 Videmus igitur integrale singulare aequationis cujusdam differentialis hac proprie- 



tate gauderCj quod reddat quantitates '^x '[-j ) c' '^y • i j) infinitas; unde resul- 



tai Simplex Ula regula inveniendi hujusmodi integralia ex aequationibus difFejjentiali - 

 hus, quam ante explicuimus, Eadem quoque regula subsislit quando x spectatur 



tauquam functio ipsius y , quo in casu quantitates dt . l y ) ^^ ^> * ( 7~ ) infiiii''3® 



evaderent. 



Priusquam huic parti finem imponamus, aliam hujus proprietatis demonstrationem 

 htc adjicere liceat, ut denuo confirmetur tbeoriam integralium singularium^ ad easdem 

 sequelas ducere quas supra §. 7. ex aliis principiis invenimus. 



Ponamus, ut supra , aequaiionem primiiivam V z=i Cp{x , y, a)^io , unde immedia- 



te sequitur aequatio differentialis f -7— j cZ* + f -7— \ dy z^ o. Ex hac aequatione 



si quantitas ^ solvitur ipsa prodibit in functione quantitatum x , y et a , quaprop- 



ter denotabimus eam per -,- =: F(X) y ■> n); et si jam ex aequatione primitiva 

 <J)(«;, j, n) = o quantitas a resolvitur et ejus valor, quem voco a = <?)'(*> j) sub- 

 stituitnr in ipsa •=- = F{x,y, a), aequatio differentialis inde resultans nempe 



QtX 



.■ = F[x , y>^Xx,y)'] eadem erit ac si quantitas ~ resoluta esset ex aequatione 



differenliali primi ordinis , cujus integrale completum est cp(x , ^, a) = o. 



Si nunc 'ratio differentialis dy = Flxyj (p'(x, y)] parfialiter differeniialur x vel y 

 unice Variante obtinebimus scripto simpliciter (p' pro (p'{x , y) 



d,.F[x,y, (p'jx.y)] __ d. F{x,y,<p') d . Fjx , y , 0') d.(p'(x,y) 

 ^ '■ \ dx - di ' d^' ^ dx 



E 5. (IE> 



