RESPONSIO AU QUA.ESTIONEM M A THEM ATICAM. 47 



Tinam aequationem consliluere debent, si aequatio I/^ = o integrale singulare ad- 

 mittat: atque liaec ipsa aequatio erit tum ejus integrale singulare. 



Ouodsi aequatio U^ '= o ita comparata est,ut factores aequationis (I) simpliciter 



redi'autur ad R X -, , = o> numerator aequationis (II) per se evanescit et ut diclo 

 modo integrale singulare inveniatur sufficit ejus denominatorem sive potius coeEcien- 

 tem R ipsiiis - nihilo aequare. Cum autem hoc in casu non duae habentur ae- 

 quationes , quae inter se congruere debent , concludimus aequationem JJ^zz: o tum 

 semper admittere integrale singulare, quod resultabit ex eliminatione ipsius ."^ in- 

 ter ae quationes Ä = o et ZT^ = o. 



cPy 

 Hoc facile confirmari potest ; nam integrando illo factore ^ ^ = o successive for- 

 ma aequationis primitivae et ipsius aequationis 1/"^ = o determinari possunt. Habe- 



mus igilur 



dx^ dx'^ ^ ' dx -^ ^ 



et denique y = \ax^ -{• hx -^r c. 



Haec erit aequatio primitiva , in qua a, b , et c sunt quanlitates arbitrariae ; sed 

 cum aequatio t/^ = o sit secundi ordinis , ejus integrale primilivum tantummodo 

 continere potest duas quantitates arbitrarias ; quam ob causam in aequatione inventa 

 una harum quantitatum a duabus reliquis pendeat necesse est. Denotemus igitur per 

 fhi, b) functionem quamlibet quantitatum a et & ; tum erit aequatio primitiva 

 y = lax' + bx + J{a , b). . . 



Aequationes /' z=. a et / = a.v + 5 praebent « = y" et b ■=. y' — x^' quibus 

 Taloribus substitutis in aequatione primitiva, aequatio differentialis secundi ordi^. 



nis erit ' 



y^xf- \x- y" + Af, f - xy") ; ^ 

 si potro aequatio novissima iterum differentiatur , nonnulli termini sese mutuo 



destruent et factores Ä X -y- = " erunt 



dx 



[- l^^ + 



d.Äy", / - ^y") 



dy' 



I j X dy" = o. 



Integrale singulare invenitur igitur expellendo y" inter ipsam aequationem secundi 

 ordinis et factorem 



^ df. 



et 



