RESPONSIO AD QUAESTIONEM M ATHEMÄ TIC AM. 55 



possibiles valores positivos et negativos, inde a nihilo usque ad infinituni, obtinebi- 

 tur numerus infinitus curvarum ad eandem familiam pertinendum .''quae tarnen singu- 

 lae diversae erunt vel positione vel dimensione vel uträque, prouti quantitas inde- 

 terminata a aliä aliäque ratione cum variabilibus * et y conjuncta est. Sed quoquo- 

 modo res sese babeat, in boc systemate curvarum duae imprimis positiones observari 

 merentur. Scilicet omnes illae curvae esse possunt vel prorsus a se invicem se- 

 paratae, vel evenire potest ut singulae cum reliquis nonnulla puncta commuuia 

 Labeant. 



Ut autem dijudicemus quomodo mutua positio illarum curvarum pendeat a quan- 

 titate indeterminata a, ex iis sumamus curvam respondentem determinato valo- 

 ri ipsius a , a ■^z p , et cum illa conferamus alteram curvam respondentem valori 

 a ^n p -^ if ita ut bae curvae repraesententur aequationibus (p{x ^ y, p) ^= o et 

 0(^> y > p + i) ^^ °* Qiodsi jam illae curvae alicubi punctum commune habent, 

 sive punctum contactus sive mutuae intersectionis , pro tali puncto, quandoquidem 

 ibi valores ipsius x et ipsius y üdem sunt, aequationes <p{x, y, p) = o et 

 OC*) Jji' + ') =0 simul locum babere debent, bujusque puncti coördinatae in- 

 notescent solvendo e dictis aequationibus ipsas x et y. 



His ita positis, ponamus "porro aequationem primitivam (p{x,y, a) zz o ad sim- 

 plicissimam formam reductam et secundum potestates ipsius a ordinatam esse, at-- 

 que tum disiingui possunt tres illius aequationis formae praecipuae , quas designabi. 

 mus per 



1° f{x, y) =z a, 2° P + a Q ^ o , (P et Q funciiones variabilium * et _y deno-, 

 tantibus ) 



3° (p{x, y, a) = o; 

 prima si quantitas a non afficit variabiles ; altera si ipsa afGcit variabiles sed pes 

 lotam functionem ad eandem ubique potestatem offenditurj tertia si ipsa afficit va- 

 riabilis et ad diversas potestates occurrit. 



Primo igitur in casu aequationes nostrarum curvarum erunt f(x , y) =r p et 

 f{x, y) = p + j; e qulbus quidem liquet tum per totum illad sjstema curvarum, 

 quas aequatio generalis f{x,y) =a exhibet, non duas reperiri quae usquam com- 

 muni puncto gaudeant; nam cum pro tali puncto aequationes /"(•», y) =: p et 

 f(x, y) =: p + i coexistere «äeierent, inde resultaret p z= p + i, quod absurdum 

 est nisi sit £ =r o. 



In altero casu haberemus P + pQ = et P + (p + i) Q = o, quae cum si- 

 mul locum babere debeant , ex iis in bac suppositione prodibit i X Q = o , ae- 

 quatio quae independenter ab ipsa i sibi constare potest posito Q :=: o, ac tunc 

 etiam praebebit P = o. Habemus igUur duas aequationes P = et Q = o intec 



doas: 



