53 ADRIANI JEREMIAE BOON 



tur, sese liabere possint et quomodo earum mutua posiiio deiermiuetur forma ae« 



qualionis primitivae respectu constantis arbitrariae ; nunc videamus quid integralia 



singulavia geometrice sibi velint. 



Aequatio primitiva <p(x, y, a) := O , qualem modo consideravimus, potest etiam 



admlttere integrale singulare <P[x , y , f{x, y)] = o, in quo quantitas arbitraria a 



dV 

 expressa est per funclionem variabilem /(*, j) ex aequatione - - = o determina- 



tam. His aequationibus $(«, y , a) — o et C^^x, y , ß^x , j)] = o quantitates a; et y 

 prorsus determinatae erunt, si ipsa a accipit valorem determinatum a ~ p. Quodsi 

 igiiur ipsae * et y ex ils solvuntur [ac deinde quantitati a tribuuntur successive 

 omnes possibiles valores 



a =/>, ffl =/» + », a = J9 -f" 2i> etc. 

 tunc innotescent coÖi'diuatae punctorum, quae curvis in aequationibus (p[x,y, a) :^ o 

 et (t)\ X , y , f{x 1 yy] '^^ ^ contentis, communia sunt. Hae igitur coördinatae erunt 

 funcliones unius a , quas denotamus per 



X = 4j{a) , y = xp\a) ; 

 oportet igitur, ut curva Cp[x,y,fix, y)] = o tangatur vel secetur singulis illis cnv- 

 vis (quaej continentiir in integrali complelo <p[x,y, a) zz o, si pro quantilate a 

 omnes possibiles valoies ponuntur. 



Perspicuum est aequationem 3— = o locum teuere posse aejuaiionis singularis 



0""* y /(*» y)] =^ *'> l^iippe quae in illä plane fundata est. Quodsi igitur inter 



aequationes - — = o et Cp^x , y, ß) =0 resolvuntur quantitates x et y , habebi- 



mus ut supra, x — »I^C*^) . y= ^'C''') ' quibus aequationibus repraesentantur coör- 

 dinatae punctorum, ubi curvae cpC^ , y, «) = o et cp[x, y , fix , j)] = o sese mu- 

 tuo tangunt vel secant. Si jam inter illas aequationes x =r ;//'«) et y z= ^'{a^ , 



dV ^, . 



s'ive quod perinde est, inier aequationes ^ = o el <p x , y, a) z= o quantitas a 



eliininatur, habebitur aequatio, qua repraesentatur locus geometricus , in quo iila 

 puncta contactus vel mutuae intersectionis sita sunt. Verum baec ipsa aequatio, 



quae resultat ex eliminatione ipslus a inter ^ = o et $(*, y, a) = o est integrale 



singulare (J)[x, y, /"(», j)] = o; unde igitur concludendum est, curvam integrali 

 siiigulaii repraesentatam , in cjnocis ejus puncto tangi vel secari per unam illarum 

 curvarum, quae ex aequatione generali (J)(*,y, a) = variatione quantitatis a 

 oriuntur. Quid autem hlc locum habeat, conUctus an intersectio, facile dijudicari 



potestt. :.. . -j 



Quan- 



