RESPONSIO AP QUAESTIONEM MATHEM ATICAM. Sg 



<3uando aequatio primitiva (p(x,y, a) = o differentiatur , ac deinde q«anlitas a 

 ex ejus differentiali expellitur oblinebitur aequatio differentialis Mdx -i- JVdy =z o, 

 quae quippe immunis a quantitate arbitraria a perlinebit ad omnes illas curvas, quae 

 ex aequatlone 0[x , y, ß) = o immutatione ipsius a oriuntur. 



Quando autem integrale singulare differentiatur obtinetur aequatio differentialis 

 M'dx + N'dy = O, quae a piiore Mdx + Ndy = o diversa quidem erit ; non au-i 

 tem pro Ulis punctis quae inter curvas (p(x, y, a) =z o , <p[x, y, J{x, y)'\ =: o com- 

 munia sunt; nam cum pro illis aequationes 0{x,.y, a) = o et 0[x , y,/{x, y)] = o 

 simullocum babeant , aequatio Mdx -\- Ndyzs: o hac ipsa conditione ita transforma- 

 bitur ut ipsa indnat formaiu M'dx -j;- N*dy =z o , quemadmodum in Gapite priore 

 vidimus. 

 Itaque hoc in casu aequationes 0(x,y, as) = o et (p^x, y, J(x , y)] = o prae- 



tebunt eundem valorem rationi differentiali -r- 



dx 



^ _ __ iir 

 dx ~ N' 

 pro quolibet valore quantitatis a% quam ob causam illa curva, quae repraesentatur 

 integrali singulari (p\x , y , f(x,yy\ = o, ubique in omnibus ejus punctis eandem 

 Tangentem babebit, quam habet una innumerarum illarum curvarum quae in aequa^ 

 tione generali Cp{x , y, a) = o continentur; itaque ipsa tangit hasce curvas omnes. 

 Omnes igilur curvae, quas representat aequatio primitiva, quae integrale singulare 

 admittit , circumdantur sive tanguntur una curva , quae iUo integrali singulari re- 

 praesentatur ; quodsi aequatio primitiva non admittit integrale singulare, talis cur- 

 va exisieie nequit. Denique si aequatio primitiva gaudet forma P + aQ :=. o , 

 integrale singulare constituitur valoribus congruentibus quantitatum ä et y, qui va- 

 Jores hauriendi sunt ex aequationibus P = o et Q = o. Itaque integrale singu- 

 lare tunc indicat coördinatas puncti vel punctorum ubi curvae per integrale com- 

 pletum P -\- aQ =z o repraesentatae , sibi occurrunt. Hoc igitur in casu curva illa 

 complectens vel tangens transit in unicum punctum. 



Si consideremus duo puncta proxima hujus curvae tangentis facile percipitur e 

 supra dictis , duas illas curvas , quae in hisce punctis tanguntur , sese mutuo secare 

 in puncto intermedio. Quo magis autem haec duo puncta contactus ad se invicem 

 appropinquant eo propius etiam ad haec ipsa accedet punctum illud intersectionis , 

 ita ut duo illa puncta contactus et punctum intersectionis simul coincidant. Quo- 

 niam hoc valet de omnibus punctis hujus curvae tangentis, ipsa curva tangens, 

 quae integrali singulari exhibetiir, consideranda est tanqnam formari mutua intersec- 

 tione omnium curvarum , quae in aequatione primitiva continentur, ., 



Ex hisjgitur manifestum est, unumquodqne Integrale singulare längere illas in- 



H 3 »«- 



