il2 L. Lfcointu. — Théorie générale 



(5) de (4) et de subslituer la valeur de^^^ — ^ que nous en tire- 

 rons dans l'équation (1); ce qui nous donne successivement 



Aî/(2/'-2/")-l-B[x(y-y")+2/(j:'-^")]+Cx(a;--a;")-l-D(2/'-y") + 

 E(.r'-a;")=0; 



y'-y" __ By+Cx+E 

 "°" x'—x" Ay+Hx+D' 



valeur qui donne pour l'équation du lieu en la substituant dans (1) 



By-4-Cx-t-E 

 y-Y=- Ay+Bx+D ^^"^^ ' 

 fonction qui , développée et réduite au moyen de celle (<$) , donne 

 AYi/+B(Yj-+Xi/)+CXx-(-D(Y+)/)+E(X+a;)+F=0 (x). 



Celte équation (jt) nous démontre qu'étant du premier degré , 

 elle représente une ligne droite , et que parconséquenl la -polaire 

 est telle pour toutes les courbes clu second degré. 



1" Remarque. L'iqual'ion (t) mise sous la forme y=px-\-q, don- 



BY+C.X+E DY+EX+F 



nant v= . ^r . r.^- , r> '^ 



AY+BX+D AY+BX-hD ' 



nous indique que la direction de la polaire est 



BY+CX+E 

 ^" AY+BX+D ' 



et nous constaterons (N". 8) que cette direction n'est autre que 

 celle du diamètre conjugué au diamètre passant par le pôle. 



2"° Remarqiie. Cette relation (x) de la polaire ne différant de 

 celle (t) de la tangente qu'en ce que les coordonnées {X,Y) du pôle 

 remplacent celles {x',y') du point de contact, nous pouvons déjà en 

 conclure que lorsque le pôle sera situé sur la courbe , la polaire 

 lui sera tangente en ce point. Nous démontrerons plus loin ce théo- 

 rème par une autre analyse. 



3""° Rimarquc. La simplicité de l'élimination précédente tient à 

 cette circonstance toute particulière que les équations (2) et (3) 

 sont implicitement comprises dans celles (4) et (5) ; cl c'est aussi le 

 motif du non emploi dos deux premières. 



6 A l'effet de démontrer la réciproque do la proposition précé- 

 dente , proposons- nous de mener des couples de tangentes à une 



