de la polaire. 53 



Les distances d et d' de ce point et de cette droite à un {loint de 

 la parabole donneront 



d=d' = x-^ ^ 



2 ' 



or, cette propriété est celle qui caractérise la directrice ; donc , cette 

 droite n'est autre chose que la polaire qui a pour pôle , le foyer de 

 la courbe. 



Prouvons encore cette identité en faisant voir que deux tan- 

 gentes à la courbe , menées par un point quelconque de celte polaire , 

 font entre elles un angle droit (autre propriété de la directrice 

 remarquée par Biot). 



En effet , les équations de ces droites seront , si {x'y') , {x"y"} 

 sont les points de contact , 



yy'^p\x+x') , . . . (1) 

 yy"=p'(x+x") ; ... (2) 



et les directions 



y"s'=p'. 



De plus , Ics'points de contact nous donnent 



y"=2p'x' (3) 

 y"'=2p'x". (4) 



Or, les équations (1) et (2) donnant , par l'élimination de y, ^a^s- 

 cisse du point de rencontre de ces deux tangentes , lequel point 

 doit se trouver sur la polaire [tt'") , on a 



_ y'x"—x'y"_ p' 



y"-y' ^ 



et cette relation nous donne, par la substitution des valeurs de x' 

 et x'', tirées de 1,3) et (4) , 



y'y"=-p'' ; 



produit qui démontre le problème énoncé , puisqu'étant substitué 

 dans celui SS' des diicctious , il nous donne 



^^'=— 1. 



