de la polaire. 59 



Menons par le pôle C (Gg. 2) , une transversale quelconque BCÂD , et 

 soit pour sa représentation analytique 



y=TOa^ (t) 



(m est sa direction, laquelle, quoique indéterminée doit être fixée de 

 telle sorte que cette droite coupe la courbe). 



Les équations (1) et (0') considérées simnltanément nous donnant , 

 pour les points communs à ces deux lieux , l'éq^ialion commune 



(Am'+C)a!'+2Ear + F=0. . . (,2). 



Nous en obtenons en ayant égard à (1) 



a!'=« ) 

 y'=mu y 



(5) 



y"=mu ) 

 De même , les équations [i) et (t"') donnent pour le point d'intersection 

 de la transversale avec la polaire 



Ea;'"=— F,Ey"'=— mF. . . (5) 



Or, le théorème sera évidemment démontré si nous vérifions la pro- 

 portion 



BC=:AC^::BD':AD% (6) 



qui n'est qu'une conséquence de la suivante : 



BC:AC::BD:AD, (H) 



laquelle exprime la propriété caractéristique des points B et A , supposés 

 conjugués harmoniques des points C et D. 



A cet effet , nommons /3 l'angle des axes et nous obtiendrons 



BC'=a;"2+î/"H2a'"!/" cos fi , 

 AC!=œ"+î/" + 2a;'y' cos fi, 



•Bl>^={x"-x'"Y+[yi'-y'"Y+^x"—x"']{y"—y'") cos /S, 

 AD'=(a:'-a;"V+(!/'-?/"')' +2(a:'-a:"')(!/'-!/"') cos fi ; 



expressions qui deviennent, après \:\ subslilulion des valeurs (3), (■») 

 et (5) , 



{!(:'=«'" (\ + m' +2m cos fi) , 



AC'=u'(l +mH2»i cos /3j , 



F \ ^ 

 BD'= U' + -— j (1+ m' + 2ot cos fi] , 



y ^ 



