62 L. Lecoinïe. — Théorie générale 



Note III. 



D'un point A pris dans le plan d'une ligne du second degré , on mène 

 deux sécantes quelconques ACD , ABE ; on joint deux à deux les points de 

 rencontre avec la courbe , on demande le lieu des points d'intersection de ces 

 droites entres elles (fig. 3). 



Nous prendrons le point A pour origine des coordonnées , l'une des 

 sécantes variables AE pour axe des abscisses et l'autre AD pour celui des 

 ordonnées. 



Ceci posé , représentons notre courbe par 



AyH2B:ry + C^H2Di/ + 2Ea; + F=0 .... (0). 



A , B , C , D , E , F sont évidemment des quantités variables avec la 

 position des sécantes. 



Posant AB=a;', AE=*"' , AC=y", et AD=y'" , les droites CB et DE 

 auront pour équations 



-^+- — = 1 Il) 



yll x' * ' 



U X 



— — I = \ (2) 



yll' œ'v ■ ' 



De plus , remarquant que y", y'" et x', x" ne sont autre chose que 

 les racines de l'équation (y) lorsqu'on y a posé préliminairement j;=0, 

 et !/=0 , nous obtenons 



Ay'+2Dy + F=0 



CxH2Ea; + F=0. 



desquelles relations en vertu de propriétés bien connues 



A(v" + ï"')=-2I>, Ay"y"=F (3) 



C(a;'ta;i»)=— 2E, Ca;'x'>'=F (i). 



Or, l'élimination des quantités variables x' ,x" , y" et y'" entre (1), 

 (2j , (5) et (4) , nous conduisant à l'équation du lieu cherché , elTectuous 

 cette élimination. 



A cet effet, taisant la somme de (1) et (2) nous obtenons 



y" + y"' x'+x" _^ 



" yiiy"! "^'^ xix" ""' ^^' 



et en ayant égard aux relations (3) 61(4) , nous avons pour l'équation du 

 lieu cherché 



Dy4-Ex+F=0 (t). 



Donc , ce lieu est une /j'ic droite. 



