J.-N. NoFX. — mémoire sur les propriétés de l'Ellipse. 1 45 



VI. — Mémoire sur les propriétés de l'Ellipse; 

 Par J.-N. Noël, 



rROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE LIÉCE. 



Préliminaires. 



I. Les lignes du second ordre, dont l'étude est l'objet de la géo- 

 métrie analytique plane, possèdent, comme on sait, un grand 

 nombre de propriétés importantes. On sait aussi que, parmi ces 

 propriétés , les plus utiles sont celles de l'ellipse et de la circonfé- 

 rence, lesquelles se déduisent souvent les unes des autres, à raison 

 de la grande analogie entre les deux courbes. 



II. La possibilité de représenter les lignes planes par des équa- 

 tions, entre les coordonnées variables a; et y de chacun de leurs 

 points, en facilite singulièrement l'étude complète; et d'abord 

 l'équation étant donnée , on en déduit la nature et la forme de la 

 ligne, lesquelles dépendent essentiellement du degré de l'équation ; 

 et celle-ci fournit toujours quelques propriétés caractéristiques de 

 la ligne proposée, d'où l'on peut la définir et la décrire ensuite. 



III. Ligne droite. On démontre aisément que toute équation du 

 premier degré, ramenée à la forme 



représente une ligne droite, et réciproquement. Pour que la droite 

 soit déterminée de position sur leplan , il faut que les deux constantes 

 arbitraires n cl h soient des nombres connus , positifs ou négatifs. 

 Or , a;=0 donne y=ft ; ainsi h est la distance numérique de l'origine 

 an point où la droite coupe l'axe des y. De même, a; = l donne 

 M=t/' — h; de sorte que n est la différence des ordonnées qui répon- 

 dent à x=0 et à a; = 1. Or , si A est connue, x=0 donne uu pre- 

 mier point de la droite proposée ; tandis que si n est donnée numé- 

 riquement, x=l fait connaître y' et par suite un second point de 

 la droite : celui-ci en détermine donc la direction- Voilà pourquoi 

 il convient d'appeler direction de la droite , le coefficient n de x 

 dans son équation. La direction n a donc y' — h pour valeur analy- 

 tique ; et quant à son expression trigonométrique , c'est le rapport 

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