146 J.-N. Noël. — Mémoire sur les 



des sinus des angles a et fi (|uc la droite fait avec les axes des x et 



des y. De sorte que si les coordonnées sont rectangulaires , on à 



«=tangfl!. 



Observons d'ailleurs que si k désigne la distance de l'origine au 

 point où la droite coupe l'axe des x ; la droite est alors représentée 

 par l'équation homogène 



-—+-^=1; dou n=— -. 

 K n K 



Cette équation l'emporte sur l'autre pour résoudre certains pro- 

 blèmes , et particulièrement dans la théorie des transversales rccti- 

 lignes; mais généralement l'équation y=nx+h est préférée dans 

 la combinaison des droites et des points. 



IV. Par exemple, connaissant les extrémités [x,y\ et [x',y') d'une 

 droite donnée d ; si l'on veut calculer le point ( X,Y) , divisant d en 

 deux parties p clg , dans le rapport connu R , d'où p^qB. , il faudra 

 employer l'équation y^nx+h, avec les expressions des dislances 

 p et j , l'angle $ des coordonnées étant quelconque : on trouvera 



( I +R)X=a;+Rx' et ( 1 +R)Y = Y+Ry'. 



Si p=^=ij, ou R=l , il vient 2\=x+x' et 2Y=i/+i/'. 

 D'ailleurs 2\=x + x' revient à x' — X=X — x; de sorte que le pied 

 de Y divise x' — X en deux parties égales. Ainsi dans tout trapèze , 

 la droite Y qui joint les milieux des côtés latéraux d et x' — X , est 

 parallèle aux deux bases y' et y, et vaut leur demi-somme. Si d'ail- 

 leurs x=y=0 , d'où 2Y^!/', on en conclut que la droite joit/nant 

 les milieux des côtés latéraux de tout triangle , est parallèle à la 

 base y' et en vaut la moitié. 



De plus, pour R quelconque , on a p:q=x' — X:X— a:=j/' — Y 

 :Y^2/. On retrouve donc ainsi la propriété des triangles équian- 

 gles , d'où l'on est parti pour démontrer que y = nx-\-h représente 

 une suite de points en ligne droite. 



Y. Soient y=:nx+h et y = n'x-\-/t' deux droites données, et 

 {x',y') un point connu de la seconde : si l'on veut calculer le point 

 [x,y] d'intersection do ces deux droites , on posera a—y'—nx' — h 

 et l'on trouvera 



[n—n'][x — x')=a et [n — «')(»/ — y')=an'. 

 Si les deux droites proposées sont parallèles, leur intersection 

 (x,y) n'existe pas ; les deux valeurs de x — x' et y — y' sont donc 

 impossibles. Or, cela exige que a n'étant pas nul, on ait n—n'=0 



