propriétés de l'Ellipse. 1 47 



ou n = n' . Réciproquement , si n=n' , a n'élant pas nul , les deux 

 droites sont parallèles. 



Si l'intersection {x,y) existe , soit d sa distance au point [x','/] ; 

 soit c=cos 6 et s=siu 6 : on aura , pour calculer d , 

 [n—n'yd'^a'[l+n"+2cn']. 

 Si n' est variable avec d seule , cette équation , résolue par 

 rapport à n', donne , pour le minimum de d , 



d l/[[+2cn+n') = a$={tj'—nx' — h)s. 

 et {d'—a')n'=d'n+a c. 

 Puisque d est la plus courte distance du point [x',y' ) à la droite 

 y = nx-\-h , d est nécessairement perpendiculaire à cette droite, fiii- 

 minant donc d', d'où [c-\-n][l-]-nn-\-cn-^cn' ) = , on aura, pour 

 la condition de perpendicularité des deux droites y=nx-\-h et 

 y^n'x-{-k', la relation 



l+ww'+(w+?î')cos5=0. 



Telle est la condition , nécessaire et suffisante , pour que les deux 



droites, dont n et n sont les directions , soient perpendiculaires 



entre elles. Et comme cette condition est indépendante de A et de h', 



on voit que toute droite perpendiculaire à l'une des parallèles 



{de direction n commune) est perpendiculaire à toutes les autres. 



VI. La condition ci-dessus et l'expression du minimum d se 



simpIiGent beaucoup lorsque 3=90°, d'où ces 0=0 et sin fl= 1 . Aussi 



lorsqu'il s'agit de calculer les angles et les distances, faut-il prendre 



l'angle 3=90°, comme dans les propositions que voici , à établir : 



■1° Tous les points chacun à égales distances de deux droites qui 



se coupent appartiennent à deux droites rectangulaires, bisec- 



trices des angles de ces deux droites. Mais ces droites ne seraient 



pas rectangulaires , si l'une des distances de chaque point devait 



être double de l'autre. 



2° Si du point (a,0) de l'axe des x rectangulaires , on mène une 

 oblique quelconque à l'axe des y, l'extrémité de la perpendiculaire 

 à l'oblique , de même longueur et menée par son pied , se trouve 

 sur l'une des deux droites rectangulaires y = x-{-act y= — x — a. 

 (Cela conduit à une propriété , assez remarquable , du carré). 



3° Une droite et un point au-dehors étant donnés ; quel est le Heu 



géométrique des points divisant chacun toute droite, menée du 



point à la droite , en deux parties , dans le rapport connu de ah b? 



4° Chaque point du plan d'un rectangle donné est tel , que la 



somme des carrés faits sur les distances de ce point h deux sommets 



