propriétés de l'Ellipse. 149" 



1° Le lieu géométrique de tous les points tels , que la somme des 

 carrés des distances de chacun aux sommets du triangle T, dont a , 

 b ,c, sont les côtés donnés , soil,le carré constant m' , est la circon- 

 férence ajant pour centre celui de gravité de T. Le minimum de m' 

 est 3m'=a'+4'+e\- et alors la circonférence se réduit à son' 

 centre. 



Il existe un théorème analogue pour le parallélogramme et pour 

 tant de points , qu'on voudra donner sur un plan. 



2° La circonférence à décrire est telle, que le carré fait sur la- 

 distance de l'un quelconque de ces points à l'extrémité de la base 

 d'un triangle isocèle tracé , vaut la somme des carrés construits sur- 

 les distances de ce points aux deux autres sommets. 



3° Calculer le rayon de la circonférence , lieu géométrique de 

 tous les points tels , qu'en menant de l'un quelconque O de ces 

 points les droites OA , OB, OC et OD aux quatre points A , B ,C, 

 D , donnés sur une droite , on ait l'angle AOB=COD. On suppose 

 AB=2,AC=5 etAD=8. 



4° Le point (4,0) est le sommet fixe d'un angle droit mobile , dont 

 un côté s'arrête constamment à l'axe des y rectangulaires ; quel est 

 le lieu géométrique du point [x,y) de l'autre côté tel , 1° que la 

 longueur de ce côté soit égal à l'abscisse x de ce point ? 2° que le 

 triangle résultant soit constamment isocèle ? 3° que l'aire du trian- 

 gle variable résultant soit toujours équivalente au carré 36 ? 



5° Si l'espace plan autour d'un point est divisé en m parties^ 

 égales , par m droites ; le point dont la somme des carrés de ces 

 distances à ces n droites vaut le carré donné c', appartient à la cir- 

 conférence ayant pour centre et 2c" sur m pour carré numérique 

 du rayon. 



6° Un polygone régulier de m sommets et son apothème a étant 

 donnés ; chaque point , dont la somme des carrés des distances aux 

 m côtés , vaut le carré donné c% appartient à la circonférence , de 

 même centre que le polygone et de rayon r tel , qu'on a jmr^=c' 

 — {ma'. Pour le minimum de c% cette circonférence se réduit à un 

 seul point. 



7° Deux circonférences concentriques , dont les rayons a et i sont 

 donnés , sont toujours telles , que la somme des carrés des distances 

 de chaque point de la plus petite aux m points , qui divisent la plus 

 grande en m parties égales , vaut constamment /«(a'-j-J"). 



(Ces trois derniers théorèmes exigent la sommation de certaines 

 séries trigonométriques) . 



