150 J.-N. Noël. — Mémoire s«r ?e.<! 



IX. Lignes du siicoNU okdke. L'équation la plus générale ilu 

 second degré, h deux variables x et y , peut toujours se ramener à 

 la forme 



Ay'+Bxy+Cx' + Dy+Ex+F=^0 ■ . . . (a) 



A étant positif et les autres coellicicnls , donnés numériquement , 

 aussi bien que A , ayant des signes et des valeurs quelconques. Si 

 cette équation csl possible , elle détermine chacun des points (x,y) 

 d'une ligne nécessairement courbe, dite ligne du second ordre ovl 

 courbe du second degré. Comme la forme et le genre de cette courbe 

 dépendent essentiellement des valeurs et des signes des cocflicienls 

 et que l'équation , supposée toujours possible, représente toutes les 

 courbes imaginables du second degré , pour une même valeur de 

 l'angle ô des coordonnées , il est naturel d'en déduire toutes \es pro- 

 priétés de ces courbes , comme d'une source commune , qui les 

 rend parfaitement analogues , en passant d'une courbe à une autre , 

 et étend ainsi la théorie , développée pour un genre , à tous les 

 autres genres , moyennant certaines modiQcations , très-simples et 

 faciles à prévoir. Mais l'élude des lignes du second ordre , d'après 

 l'équation complète ci-dessus , serait fort difficile, à raison de la 

 complication des calculs, qui masqueraient souvent les consé- 

 quences. Il faut donc représenter les lignes du second ordre par leurs 

 équations les plus simples; et il existe, à cet effet, plusieurs 

 méthodes. La suivante, indiquée dans mon traité de géoniélrie ana- 

 lytique et dont mon collègue , M. Brasseur , avait fait usage de son 

 côté, dans son traité lithographie, est la plus directe; car il en 

 résulte immédiatement la [orme générale des courbes de même 

 genre , cette forme étant caractérisée par le binôme B^ — 4AC. 



Coupons en effet , la courbe [a] par la sécante y=nx-i-h , n et h 

 étant deux constantes entièrement arbitraires : comme aux points 

 d'intersection les x et les y ont mêmes valeurs respectives , dans les 

 équations des deux lignes, on peut éliminer y; et alors on a 



{Aft'+B»+C)j;' + C2A/i/i + BA + D«+E)a; 

 + Ah'-hDh-\-F=0. 



Cette équation finale en x étant du second degré , il y aura géné- 

 ralement deux [abscisses, deux ordonnées et deux points d'intcr- 

 scclion , au plus. Or, n et h étant complément arbitraires , l'équation 

 en X fournit les conditions pour que , l" la droite ne coupe la courbe 

 qu'en un seul point; 2° ne la coupe pas; 3° hii soit tangente; 

 A" lui soit asymptote, c'est-à-dire s'en approche continuellement, 



