propriétés dt l' Ellipse. 151 



sans jamais k rencontrer. Développons la première do ces con- 

 ditions. 



Pour que la droite %j=nx-\-h ne coupe la courbe [a) qu'en un 

 seul point , il faut que l'équation finale en x n'ait qu'une seule 

 racine et soit par conséquent du premier degré ; il faut donc qu'on 

 ai( rigoureusement 



Aw'-1-Bw+C=0 ; d'où 2An=— B±|/{B'— 4AC). 



Or, le binôme B'— 4AC ne peut être que nul , négatif ou positif; 

 il ne peut donc exister que trois yenres distincts de courbes du second 

 degré; et la forme de chaque courbe dépend essentiellement de la 

 valeur du binôme caractéristique B' — 4AG. 



X. Parabole. Supposons B" — 4AC=0 ; nous aurons 2An= — B. 

 Dans ce cas , la direction n est constante ; elle est toujours réelle 

 et unique , pour une même valeur arbitraire de h. Il existe donc, 

 depuis h=0 jusqu'à A=±oo , une infinité de droites parallèles ne 

 coupant la courbe (a) qu'en un seul point cbacune. Cette propriété 

 caractérise essentiellement la ligne du second ordre , appelée para- 

 bole-car cette courbe est évidemment infinie et ouverte dans un 

 seul sens : elle peut toujours se représenter par l'équation très- 

 simple 



y'=2px; 

 vu qu'ayant ici A=1,B=0 et C=0, la condition caractéristique 

 B'— 4AC = est satisfaite. 



XI. Ellipse. Si le binôme B^ — 4AC est négatif, les deux valeurs 

 de n sont imaginaires ; la droite y^nx-\-h ne peut donc jamais 

 couper la courbe (a) en un seul point : elle la coupe en deux points 

 ou pas du tout. La courbe , dans ce cas, est nécessairement fermée, 

 convexe , fnie et rentrante sur elle même : on l'appelle ellipse et peut 

 toujours se représenter par cbacune des équations, où les signes 

 sont en évidence : 



My'-^tix'=P et i/^'Apx-qx' ; 



car chaque fois la condition caractéristique B^— 4AC négatif est 

 satisfaite. Ce binôme se réduit, en effet , à — 4MN ou à — iq. 



XII. Hyperbole. Enfin, si B'' — 4AC est jjositi f ,\cs deux valeurs 

 de n sont réelles , inégales et constantes , quel que soit h ; il existe 

 donc , deux systèmes , composés chacun d'une infinité de droites 

 parallèles, ne coupant chacune la courbe (a) qu'en un seul point. 

 De plus , les 2 valeurs de w , qui satisfont h l'équation (2A)i+B)A 

 4-Dn+E=i , i étant un infinimenent petit d'un ordre quelconque. 



