152 J.-N. Noël.— Mémoire sur les 



donnent à A deux valeurs finies et réelles : ces valeurs de h , subs- 

 tituées dans 



tx+AA'+DA+F=0 et i/ = na;+A , 

 donnent à x deux valeurs infinies cl h y quatre valeurs , aussi infi- 

 nies; les deux valeurs proposées do h fournissent donc deux sécantes 

 qui se coupent (vu que les deux valeurs de n son t différentes) et coupen t 

 chacune la courbe (a) en deux points situés à l'infini. Celte courbe , 

 bien différente de la parabole, a nécessairement deux ouvertures et 

 deux branches, séparées et infinies, contenues dans deux angles 

 opposés des deux droites d et d', qui répondent à i rigoureusement 

 nul ; car alors , pour les deux valeurs finies de h , les deux de x 

 et les quatre de y cessent d'exister ; donc les deux droites d et d' 

 ne rencontrent point la courbe (a) ; tandis que pour i infiniment 

 petit , les deux droites résultantes rencontraient chacune la courbe 

 en deux points , situés h l'infini. Celte courbe, nommée Hyperbole, 

 est donc composée de deux branches , séparées , égales , infinies et 

 contenues dans les deux angles opposés de deux droites d et d' , qui 

 se coupent. D'ailleurs celles-ci s'approchent continuellement des 

 deux branches, sans jamais les rencontrer; elles en sont donc les 

 asymptotes. 



L'hyperbole peut se représenter par chacune des trois équations 

 My'— Na;'=— P, y'^^^px+qx" et xy=R^ ; 

 car chaque fois la condition caractéristique , savoir B' — 4AC posi- 

 tif, est satisfaite. Ce binôme, en effet, se réduit à +4MN dans la 

 première équation , à -\-iq dans la seconde et à +1 dans la troi- 

 sième. Celle-ci représente l'hyperbole , rapportée à ses asymptotes , 

 axes des x et des y , qu'elle ne rencontre jamais. 



Par exemple, si toutes les droites , partant (tu point donné (8,6) 

 sont terminées , de part et d'autre , aux deux axes des coordonnées ; 

 le lieu géométrique de tous leurs milieux est une hyperbole , rapportée 

 à ses asymptotes. Ce lieu est, en effet, représenté par 



xy = 'èx+iy , ou par xy=l2, 

 en passant à un système de coordonnées parallèles, pour faire dis- 

 paraître les piemièics puissances de x cl de y. 



XIII. Il existe un grand nombre de problèmes , sur les lieux géo- 

 métriques d'une infinité de points, fournissant les courbes du second 

 degré. Par exemple , on trouve que la parabole est le lieu géomé- 

 trique de tous les points tels, que la distance de chacun à l'axe des 

 y soit égal à sa distance au point (2,0), donné sur l'a^e des x. Le 



