propriétés de l'Ellipse. 153 



lieu serait une ellipse , si la seconde distance devait être double de 

 la première , ou si la somme des carrés des deux distances devait 

 valoir le carré donné 36, Le lieu serait une hyperbole , si la première 

 distance devait être double de la seconde , ou si le produit des deux 

 distances devait être triple de celui des coordonnées du point. 



On peut cLaque fois calculer l'équation numérique de la courbe, 

 1° lorsque l'angle des coordonnées est droit, 2° lorsqu'il est de 

 60°- Chaque fois aussi , en résolvant l'équation proposée , par 

 rapport a y , on peut construire la courbe , par poinls successifs; 

 mais il est souvent plus simple et plus exact, à cet effet, de rap- 

 porter la courbe à ses axes conjugués , ou à ses axes principaux. 



XIV. Axes conjugués. Si l'équation d'une ligne du second ordre 

 conserve la même forme, quel que soit l'angle 6 des coordonnées , 

 moindre que 180°, on dit que la courbe est rapportée à ses axes 

 principaux ou à ses axes conjugués , suivant que l'angle 6 est droit 

 ou non. Or, une même ligne du second ordre admet une infinité de 

 systèmes d'axes conjugués et un seul système d'axes principaux; et 

 c'est ce qu'il faut d'abord démontrer , pour les trois courbes. On y 

 parviendrait par la transformation des coordonnées ; mais il est bien 

 plus clair et plus simple de procéder comme il suit. 



XV. Pababole. Cherchons l'équation de la courbe plane telle, 

 que la distance d de chacun de ses points (x,y) à l'axe des x soit 

 moyenne proportionnelle entre l'abscisse x de ce point et le nombre 

 donné 2p. 



Supposons d'abord l'angle S des coordonnées, compris entre et 

 00° ; la distance d sera opposée à l'angle S du triangle rectangle 

 dont l'ordonnée y est l'hypoténuse ; et ainsi d=y sin 6. Par l'énoncé , 

 on doit avoir x:d::d:2p ou d^=2px ; donc j/'sin^C=:2px. Posant 

 donc 2p=2p' sin'ô, d'où 2p'>-2p , on aura, pour l'équation du 

 lieu cherché , 



Si l'on fait croître , par degrés insensibles , l'abscisse positive x , 

 depuis zéro jusqu'à l'infini ; comme 2p' est un nombre constant et 

 donné , essentiellement positif, il est clair que l'ordonnée y croîtra , 

 positivement et négativement, depuis ^=±0 jusqu'à y^dbx) : 

 d'ailleurs x ne saurait avoir le signe — ; la courbe (b) est donc 

 mfinie et ouverte, dans le sens des x positifs ; c'est par conséquent 

 une parabole , quel que soit l'angle 6 ; et c'est une parabole , rap- 

 portée à ses axes conjugués des x et des y. 



