154 J.-N. Noël. — Mémoire sur les 



On voit J'uilk'urs que celui-ci est langent à la courbe, à l'ori- 

 gine 0; car a;=0 donne y = ±0. De plus, comme x = k donne 

 y = ±h; la corde 2A , parallèle à l'axe des y , est divisée en deux 

 parties égales par l'axe cotijur/tié des x. Celui-ci est un diamètre de 

 la courbe; parce que, dans les lignes du second ordre, on appelle 

 diamètre , la droite bisectrice d'un système de cordes parallèles. 



Le point M ou [x,y] restant invariable , aussi bien que 2p, il est 

 clair que la distance d augmente avec l'angle ; l'axe des x , tou- 

 jours perpendiculaire à la droite sur laquelle d se trouvait, s'éloigne 

 de plus en plus de sa position primitive , sans cesser de lui être 

 parallèle, ni d'être bisecteur du système de cordes parallèles à son 

 conjugué, axes des y, toujours tangent à la courbe. Car on a tou- 

 jours 2/'='2p 'a; , bien que 2p' diminue de plus en plus, depuis û=0 

 sur 00 jusqu'à 0=90°. Or Q = 90° donne 2/)'=2/j et y'=2px; l'cqua- 

 lion (A) conserve donc toujours la même forme, quel que soit 

 l'angle 6 des coordonnées. Ainsi non-seulement la parabole admet 

 une infinité de systèmes d'axes conjugués et un seul système d'axes 

 principaux ; mais de plus , tous les axes des y touchent la courbe en 

 chaque origine cl tous les axes conjugués des œ, diamètres de la 

 parabole , sont parallèles à son axe principal des abscisses. Celui-ci 

 d'ailleurs est le seul axe de symétrie do la courbe, comme bisecteur 

 de toute corde 2A qui lui est perpendiculaire. La forme de la para- 

 bole est d'autant plus ouverte, que les coefficients constants 2p' et 

 2p sont plus grands : c'est pourquoi ces deux coeflicients sont appelés 

 2)aramètres de la courbe : 2/j' cl dit \e paramètre diamétral el 2p le 

 paramètre principal ou simplement le paramètre. 



Puisque l'axe principal des x est déjà tracé et contient le pied P 

 de la nouvelle ordonnée MP = y^d , il est clair que si l'on prend, 

 sur cet axe et du côté des x positifs , la longueur PN = 2p; la per- 

 pendiculaire à 31N , élevée par le point M , ira couper le raôme axe 

 au point S ; et comme alors MP^'=2p. SP , le point S , origine des 

 axes principaux , appartient à la courbe : c'est le so)nmetdc la para- 

 bole. Prenant sur l'axe principal des x et à partir de S , la longueur 

 arbitraire SQ, qu'on prolongera de 2p ; la circonférence décrite 

 sur le diamètre SQ-|-2p, coupera la perpendiculaire, menée par le 

 point Q , sur QS , aux deux points G et G', appartenant à la para- 

 bole ; laquelle se décrit ainsi très-simplement , par points successifs. 



Prenons sur l'axe principal dis a; , et de part et d'autre de l'ori- 

 gine S , les longueurs égales à 'p , savoir SF et SK, F étant du c6té 

 des X positifs ; par le point R élevons sur Fit la perpendiculaire 



