propriétés de l'Ellipse. 155 



indtCiiie KE , appelée directrice de la parubole : il est facile de dé- 

 rnoulrer, d'après l'équalion y'=^px , que la parabole est une courbe 

 plane telle , que les distances de chacun de ses points M , à la direc- 

 trice et au point fixe F , sont égales entre elles et à x-\-ip. Chaque dis- 

 lance r, de M à F, est appelée rayon vecteur du point M de fa 

 courbe , dont F est dit le foyer. Celle égalité des distances est lelle- 

 nienl caractéristique de la parabole , qu'en cherchant le lieu géomé- 

 trique de tous les points M, à égale dislance du point F et de la 

 droite EK, on retrouve l'équation y'' = 2px. Cette équation fournit, 

 comme on sait, la description de la parabole , soit d'un mouvement 

 continu, soit par points successifs; mais pour ce dernier cas, le 

 procédé indiqué ci-dessus est le plus simple, quoique peu connu. 



Réciproquement, la parabole étant tracée, voyons comment on 

 trouve non équation aux axes conjugués et aux axes principaux- 

 Blenant la droiie D', par le milieu de deux cordes parallèles quel- 

 conques ; puis par le point , oîi D' coupe la parabole , menant la 

 parallèle P' aux deux cordes; il est clair que P' touche la courbe au 

 point , vu que O est le milieu de la corde nulle sur P'. Or , D^ et 

 P' étanl les axes conjugués des x et des y, dont est l'origine , les 

 coordonnées x ti y à\i point M sont connue ; on connaîtra donc le 

 paramètre diamétral 2p', par y'-=2p'x ou par x:y::y:2p'. 



Menant ensuite à D', par le point M, la perpendiculaire, quo 

 l'on prolongera en P, de telle sorte qu'on ait MV=y; la parallèle à 

 I)', menée par P, sera l'axe principal des x , coupant la courbe au 

 sommet S. Menant enfin à SM , la perpendiculaire , coupant en N 

 Je prolongement de SP-, la longueur PN sera le paramétre 2p , ainsi 

 déterminé; car MP^=PN'SP. L'équation aux axes principaux sera 

 donc y^=2px. 



Les autres propriétés de la parabole sont mainlcnanl bien faciles à dé- 

 moulrer , d'après ses équalions aux axes coujugués et aux axes princi- 

 paux , et d'après 2j)=2p' sin 'e. Il en résulte que , d° les droites , menées 

 du point de tangence , au foyer et parallèlement à l'axe principal , foui 

 avec la tangente et d'un même côlé , deux angles égaux ; 2° le milieu de 

 la portion OT de la tangente , entre le point de coutacl , el l'axe priu- 

 cipal des x , est à la fois sur l'axe principal des y et sur la perpendicu- 

 laire à OT, menée du foyer F, celle perpendiculaire et le diamètre en 

 se coupant sur la directrice ; 5° l'ordonnée du milieu do OT élanl moitié 

 de l'ordonnée du point , il est facile de tracer la tangente en ce point ; 

 i° le rayon vecteur r du point quelconque 0, origine d'un diamètre , es( 

 le quart du paramètre ^p', relalif à ce diamètre; S° connaissant donc les 

 deux axes conjugués et leparamèlre diamélral 2yi', il en résulte le foyer, 



