156 J.-N. Noël. — Mémoire sur les 



la directrice cl le paramèlre principal ; 6" la distance du foyer à la tan- 

 genle est moyenne proportionnelle entre le quart du paramétre 2p el le 

 rayon vecteur du point de contact ; 7° soit d la distance au foyer du point 

 d'où partent deux tangentes à la parabole, de longueurs l et <', depuis ce 

 point jusqu'aux deux contacts , dont r et r' soûl les rayons vecteurs : on 

 aura rli^=r'i' , d^ = iT' et par suite d esl bisectrice de l'angle {rr') ; 9° si 

 l'angle {rr'] =180'',r + r' esl une corde , à laquelle d esl perpendiculaire ; 

 les deux tangentes aux extrémités de cette corde se coupenl donc à angle 

 droit sur la directrice ; d'où résultent plusieurs propriétés réciproques ; 

 10° enfin, quel esl le lieu de tous les points tels, que la dislance de 

 chacun à l'origine soit l'abscisse de ce point augmentée de la longueur p 

 donnée? 



Observons encore que , S étant le sommet de la parabole y^^'ipx; si l'on 

 prolonge l'abscisse SP du point M , de la longueur Pi\=2p el NM de la 

 longueur MN' telle qu'on ail MN'=MN.i7, v étant nn rapport constant ; 

 le lieu géométrique de tous les points N' est une seconde parabole. Mais 

 si par chaque point M de la parabole proposée , on mène à l'axe principal 

 des X , la parallèle égale au paramètre 2/) , puis du pied de l'ordonnée de 

 l'extrémité de cette parallèle , une perpendiculaire à la corde SM; sui- 

 vant que la parallèle 2p sera dirigée vers les x positifs ou vers les œ 

 négatifs , le lieu du pied de la perpendiculaire sera la parabole proposée 

 elle-même ou bien sera la courbe {y'+x'}y'^^2px{x'—y'). La parallèle 

 pourrait être SP ou MP, etc. 



XVI. Ellipse. — Cherchons l'équation de la ligne décrite par les 

 intersections successives de deux droites, mobiles autour de deux 

 points Oxes , de telle sorte que le produit de leurs directions varia- 

 bles n et n' soit un nombre donné k , constamment négatif. 



Soit 2d la longueur connue de la droite joignant les deux points 

 Cxes ; plaçons au milieu l'origine des coordonnées obliques , com- 

 prenant l'angle 6 , et soient (x' ,y') une exlrémité du 2d; l'autre 

 extrémité sera ( — x', — y') , puisque l'origine (0,0J est le milieu de 

 2d. Les équations des droites, mobiles autour de ces deux points , 

 sont donc 



y—y<=n[x—x') ely+y' = n'{x-\-x'). 



Au point quelconque {x,y) , où les deux droites se coupent , les 

 X et les y ont mêmes valeurs respectives dans leurs équations. On 

 peut donc multiplier celles-ci membre à membre , et à cause de 

 nn'= — k , par hypothèse , il vient 



y- — y'' = — k{x' — x'') ou y- + kx'' = y''-{-kx" . . . (c) 



Tout est positif, dans cette équation, évidemment delà forme 

 ]Mt/"+Nx'=P ; donc elle représenle une ellipse. 



