propriétés de l'Ellipse. 157 



Le point quelconque {x,y) de la courbe restant ûxo , aussi bien 

 que l'origine, milieu de 2d , on peut , en déplaçant les axes autour 

 de l'origine fixe, faire varier l'angle e, depuis 9 inGniment petit 

 jusqu'à 6=180°, k restant constant : il est clair que x' et y' varie- 

 ront , en restant constants , pour uno même valeur de e ; l'équation 

 (c) conservera toujours la mémeiorme , sans cesser de représenter 

 les mêmes points , et par conséquent la même ellipse ; laquelle est 

 ainsi rapportée à ses axes conjugués des x et des y. De sorte que 

 Yellipse admet une infinité de systèmes d'axes conjugués , des x et des 

 y, et un seul système d'axes principaux , pour lequel l'angle s est 

 droit. Dans ce cas , ayant y'=0 et a;'=<i , l'équation (c) devient 

 y' -\- kx' =Jid- : elle représente la circonférence , si k—l ; car alors 

 nn' + 1=0. 



XVII. Hyperbole. Lorsque le produit nn'=k est donné cons- 

 tant, mais toujours fjosiù/, l'équation [c] devient 



y^—kx''=y"—kx'o\iMy^—^x'^ P. 



C'est donc Y hyperbole , rapportée à ses axes conjugués, des x et 

 des y ; car cette équation conserve toujours la même forme , sans 

 cesser de représenter les mêmes points M ou (x,y) et conséquemraent 

 la même courbe, lorsque l'angle ^ varie , depuis jusqu'à 180'. 

 Une même Hyperbole admet donc une infinité de systèmes d'axes 

 conjugués des x et des y , et un seul système d'axes principaux , pour 

 lequel l'angle est droit. Dans ce cas, l'équation devient y^ — kx'= 

 — kd' ; et l(?s axes principaux , des x et de^ y , sont en même temps 

 axes de symétrie de la courbe , comme bisecleur chacun de toute 

 corde qui lui est perpendiculaire. 



De plus , si alors o et ê sont les distances de l'origine aux points 

 oij la courbe rencontre ses axes de symétrie des x et des y , on aura 

 a'=rd' et P= — kd^. L'hyperbole rencontre donc l'axe principal 

 des X aux deux points , extrémités fixes de 2(/; et voilà pourquoi 2a 

 est dit \q premier axe , Y axe réel ou Y axe transverse de l'hyperbole : 

 elle ne rencontre point l'axe de symétrie des y, car J = ±rfJ/ — k ; 

 la longueur réelle 2b=dy/k, sur l'axe principal des y , et dont 

 le milieu est à l'origine , est dite le second axe , Yaxe imaginaire ou 

 non transverse de la courbe. Si A=l , d'où 2a = 2b , l'hyperbole est 

 dite équilatère et son équation devient y' — x'= — a^. 



L'équation de l'hyperbole , aux axes conjugués ou aux axes prin- 

 cipaux , conduit très-simplement, comme on sait, à toutes les 

 propriétés, descriptives et autres , de la courbe; en observant que. 



